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2014年センター試験 数学ⅠA 第3問 その2

2014.01.31 02:25|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きです~~


問題はこの辺などから~ 81772681-5429-43AA-86F3-CE1D54407314.gif
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-164.html



平面図形の問題でした~~
序盤部分に関しては前回やった通りです~~

AB=AC=4, BC=2 であるような二等辺三角形 ABC とその外接円に関する問題です~


前回の続きの設問から考えていきましょーーー

∠ABC の2等分線と ∠BAC の2等分線の交点が D です。
これは △ABC の内心ですね。 ∠ACB の2等分線も点 D を通ります~

AC との交点を E とします~
このとき,線分 AE, 線分 BE, 線分 BD の長さを求めるのが次の設問です~
今回もいくつかの方法を試してみましょー w03.gif


まずは定番的なアプローチをしてみますー
直線 BE が ∠ABC の2等分線なので,角の2等分線の性質から
BC:BA=CE:AE が成り立ちます~xmas_wine.gif

この線分比から AE の長さが求まります~
このとき △ABE について,辺 AB, AE の長さと cos∠BAE が分かってるので
余弦定理から BE の長さが計算できます~
そうすると今度は,直線 AD が ∠BAC の2等分線であることに着目して
線分比の関係 AB:AE=BD:ED を使って BD の長さを出すというわけです~


d1_2014013020045012b.jpg

  d4_20140130200452814.jpg
  d5_20140130200453fdc.jpg


線分 BE の部分に関してはメネラウスの定理なんかも使えます


d6_201401302004533c1.jpg

線分 BD の部分に関しては角の2等分線の長さの公式なんかも使えます

d13_20140130200607ec2.jpg



さて,冒頭で D が △ABC の内心であることを述べました。
直線 AD と BC の交点を H とすると,ちょうど線分 DH が内接円の半径になってるんですよねー
△BDH に三平方の定理を使うことで線分 BD の長さが出せるので今度はそのやり方を試してみます~ winkneko.gif


d2_20140130200451038.jpg

このとき, AE=8/3 を先に出していれば, △ABE において角の2等分線の性質から 
BE を求めることが出来ます。

d3_20140130200451547.jpg





次は角の二等分線の線分比に関する性質を使わないでそれぞれの値を求めてみます~~
二等分線の長さ BE を求める方法としてはまだ挙がってないものとしては
面積公式を利用したものがあると思います win_snowman.gif
△ABC の面積は前回求めていて √15 です。
△ABC=△BAE+△BCE であることに着目して BE に関する方程式を立てて解きます~

このとき sin∠ABE (=sin∠CBE) の値が必要になるので
2倍角の公式かなんかで求めておくと良いです。

d11_20140130200526908.jpg

このとき, △ABE に正弦定理を適用して AE を求め,
△BDH において cos∠DBH=BH/BD であることから BD の長さを求めてしまうことが出来ます winkapa.gif


d12_20140130200527ef1.jpg





今度はベクトルを使って一連の値を求めてみましょう~ win_night.gif

(→BA)=(→a), (→BC)=(→c) とおいてみます。
線分 AB の中点を J とおくと, BJ=BC=2 なので △BJC は二等辺三角形です。
BE が ∠ABC の二等分線であることから, BE と CJ の交点を M とおくと
M は CJ の中点になっています。

E は直線 BM 上の点なので, (→BE)=k(→BM) と書けます。
一方, E は線分 AC 上の点なので, (→BE)=s(→a)+(1-s)(→c) の形でも書けますね。
このことから (→BE) を (→a), (→c) を用いて表せるようになるので
それを経由して (→AC) と (→AE) の関係性を調べてみます

d7_2014013020052429a.jpg

なお,角の二等分線の性質を知っていれば, (→AE) の表示はもっとすぐに得られます。

さて,このとき更に, (→a)・(→c) を求めておけば |(→BE)| も計算できます~ waraioni.gif


d8_20140130200525e1d.jpg
d9_20140130200525bba.jpg

また, D が直線 BE 上にあることから (→BE)=ℓ(→BD) の形で書けて,
一方で線分 AH 上にあることから, (→BD)=t(→BA)+(1-t)(→BH) の形で書けることから
(→BE)=ℓ{t(→BA)+(1-t)(→BH)} の形に一意に表示できます~ whale.gif



d10_201401302005262ff.jpg





そろそろ次の設問に進みましょう~~~ win_mountain.gif

△BEC の面積が △AEF の面積の何倍かを求める問題です。

ベタな解法としては, △AEF∽△BEC に着目して面積比を相似比の2乗に帰着させる
というものがあると思います~ kawauso.gif


d14_20140130200607a72.jpg


底辺分割の原理を使って △BEC, △AEF の面積が △ABE の面積の何倍かを考えてみるという手もあります~ insect_kuwa_m.gif


d15_20140130200608f2d.jpg
d16_20140130200609a24.jpg




もっとシンプルに,実際に2つの三角形の面積を計算して比をとるというのでもいいですね。


d17_201401302006101b7.jpg





この設問はまぁこれくらいにして,最後の設問は3つの線分 FA, FC, FD の長さの
大小関係を比べなさい,というものですよーー

「角度に注目する」というヒントをくれているので,方針は立てやすいですね s2_sum_sunflower.gif
円周角が等しい2つの弧の長さは等しいので,
∠ABF=∠CBF より 弧AF=弧CF が成り立つので 弦AF=弦CF も成り立ちます~

d18 1


このことは ∠FAC=∠FCA から △FAC が二等辺三角形になることを理由に述べてもいいですね。 

あとは △FAD に着目して ∠FAD=∠FDA になることを確かめて FA=FD を導けます~ heart08.gif




d18 3

d19_201401302006543ca.jpg


あらかじめ ∠FAD=∠FDA なんじゃないかという予想をしておいてそれを実証してみるという
やり方だと迷わず結論に辿り着けそうです~
なお, △FDC が二等辺三角形になることから結論を導いても構いませんよ~


また,角度に注目するといい,というヒントがあったけれど,
うまく結論まで辿り着けなかったらその方針を諦めて素直に3つの線分の長さを実際に求めて
長さを比較
しても構いません。案外手間はかからないですよ~ carrot02.gif


d26_20140131013729f2c.jpg





また, △ABC が二等辺三角形であることから,図形の左右対称性を利用して
下図の四角形 AFDF´ がひし形になることから FA=FD を述べてみる
なんてことも出来たりします~ futaba.gif


d20_201401302006557d7.jpg


ここで得られた FA=FC=FD という結果ですが,
今回の △ABC においてたまたま成り立った結果というわけではなく,
一般の三角形についても同様のことが言えるということは注目です。
有名な事実として知られているようですよ。







さて,最後は最初の設問から最後の設問までを座標を使って解いて終わりにします~~
座標を使った解法は大体のところ,最初の導入部分が面倒なのですが,
それさえ済んでしまえばあとはひたすら力技で答えを出していけるので図形の性質に疎い人には
なかなか悪くない武器だと言えます。
また,今まで挙げてきたような図形の性質を組み合わせながらだと計算量を少なくしたりもできるので
図形に疎くない人でも十分利用価値があります。

今回は △ABC が二等辺三角形なので, BC の中点を原点にとって AD を y 軸上にとる
という手もあるのですが,そもそも最初の設問を解くまで △ABC が二等辺三角形であることが
分からないため B を原点にとります。
そうすると直線 OA や OF は原点を通る直線になるので少し楽になりそうです。 

C(2,0) とするところまでは良いですが, A の座標がすぐに求まりません。
問題文で与えられているのは cos∠AOC=1/4 なので,そこから tan∠AOC を求めると
それが直線 OA の傾きに
なっています。あとは線分 OA の長さが4であることから A の
座標を求めましょう~ butterfly07.gif

また, cos∠OAC は内積 (→AO)・(→AC) を利用して求めると楽です~

d21_20140130200656074.jpg

d22_20140130200656381.jpg


外接円半径は正弦定理でもいいですが,正弦定理を使わないと意気込むならば
外心の座標を求めてしまって,それと原点との距離を計算すると良いですかねー
弦 OC の垂直二等分線と弦 OA の垂直二等分線の交点として外心が求められます。

d23_20140130200657d15.jpg


次は直線 OF の方程式を求めます。
角の二等分線の性質を使って線分 AC を 2:1 に内分する点 E の座標を求めると
簡単に直線 OF の式が求まりますが,それを使わないとすると
OF が ∠AOC の二等分線であることから,その方向ベクトルが OC 方向の単位ベクトルと
OA 方向の単位ベクトルの和で表せる
ことを利用すると楽かもしれません~ rabi_right.gif
これは少し上の方でやったベクトルを用いた解法で出てきた (→BM) を考えるというのと発想は基本的に同じです~

外心の座標と外接円半径が分かっているので外接円の方程式も求めることが出来ます。
これで直線 OF と 直線 AD, AC, 外接円との交点をそれぞれ求めることが出来ます~

d24_2014013020065827e.jpg

このとき, △OEC と △AEF の面積も簡単に出せるので面積比も計算できます~
また FA=FC=FD であることは実際に長さを比べてみれば確かめることが出来ます~ rice_eating.gif



d25_201401302007124d1.jpg
 











そんなわけで,色々と大問3について考察してきましたが
そろそろ終わりにして次回はラストの大問4で遊んでみたいと思います~ s2_sum_mount.gif









              
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