プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

07 | 2017/08 | 09
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2014年センター試験 数学ⅠA 第4問

2014.02.03 00:04|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅠA第4問をやります~


問題はこの辺などから~ ぺんぎんmini
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf


場合の数と確率の問題ですね~~

今回は期待値が出題されませんでしたねー
それどころか場合の数がメインで確率の設問は1つだけです~
珍しいですね~

期待値は新課程では数学ⅠAから外れているので
来年以降も出題はされないことになりますね。
統計の方で「平均」の形で出題されることはあるかもしれないですが~

街路図と経路を題材にした問題になっていますが,
こんな形の街路が一体どこにあるのかと問いたい感じです gp11.gif
6方向に道がある交差点だらけで交通が複雑過ぎます。
そしてこんな街を歩いてたら地図があっても道に迷いそうで仕方ありません。


まぁフィクションの話なので大目に見ることにしましょ~
各交差点につき,移動できる方向が6つあるため
サイコロを振って移動の方向を決めようということをするらしいですよ~ pakukapa.gif



           e00.jpg



スタート地点は A です~
まずは4回の移動で B まで移動する方法の総数を求める設問です~
例えば 「下→下→左斜め下→左斜め下」 や 「左斜め下→下→下→左斜め下」
のような動き方なんかは条件を満たしていますね。

他にもいくつか条件を満たす動き方というものはありますが
いずれのパターンも「下」移動が2回,「左斜め下」移動が2回で構成されています~ panda_1.gif

そこで,この移動の仕方を「下」2個,「左斜め下」2個を1列に並べる順列に対応させて
この順列の総数を求めてみれば良いということがわかりますねー
同じものを含む順列の公式を使うと良いです~

e2_201402010239472e7.jpg


答えは6通りなので,これくらいなら全部書き出してしまって答えをだすという手でも十分対応できます。
問題文をみると該当箇所の空欄が1個なので,答えが1桁の数だと分かるわけですから
難しく考えるのはやめて全部書き出しちゃおーーってのも,場合の数が苦手な人には堅実な作戦でしょうな。

中継地点としてどの点を通るかといった辺りに着目して場合分けして考えてみても良いですね。


e3_201402010239485c6.jpg


次の設問は3回で A→C の移動をする方法の総数を問われています~
これも答えが1桁の数であることが空欄の数から見て取れるので
悩む暇があったら数え上げちゃっても良いかと思います。

e4_201402010239497d8.jpg

順列計算で攻めるとすれば,条件を満たす移動の仕方がいずれも
「下」1回,「左斜め下」1回,「右斜め下」1回から構成されてることに着目して
これらを1列に並べる順列の総数を考えると良いです~ hamu01.gif

e5_20140201023949f05.jpg


さて次は,6回で A→D の移動をする仕方のうち,
はじめの3回で A→C を移動するものの総数を求める設問です。

はじめの3回で A→C というのは1つ前の設問で考えた動き方とまったく同じなので
6通りあることがもう分かっています。
また, C→D の部分もはじめの3回と全く同様に考えることができるので
やはり6通りあるのです~ hiyoko.gif
はじめの3回と後半の3回の移動は互いに影響を及ぼさないので積の法則が使えます。


e6_20140201023950cc6.jpg


ついでにその確率が問われています~
6回移動したときの動き方の総数というのは,1回につき6通りあるので全部で6^6通りあります

e7_20140201024027fc2.jpg


(3回でCに到達する確率)×(その後3回でDに到達する確率) と考えても良いです~

e8_2014020102402810e.jpg



上の設問で考えたのは,6回で A→D の移動をするパターンの一例でしたが,
ここから先は6回で A→D の移動をするパターンの総数を求めることがゴールになりますよ~

ノーヒントで出題されるとパターン分類で頭が混乱してしまうかもしれないですが
とても丁寧に誘導がされているので,それに上手く乗っかっていきましょう~

「上」方向の移動を含むもの,「左斜め上」方向の移動を含むもの,「右斜め上」方向の移動を含むもの,
そしてそれ以外のもの
。この4パターンに分類していくと良いようですねー zashiki.gif


まずは「上」方向の移動を含むものを考えてみましょう~
最初に「上」方向に動くと,残りの5回は全て「下」に動かないと6回では D に到達できません。
これ以外も,条件を満たす動き方は全て「上」1回,「下」5回の移動をするものになっています


e9_20140201024029668.jpg


「左斜め上」方向の移動を含むものもまた,いずれも「左斜め上」1回,「右斜め下」1回,「下」4回
の移動をするものに限られてしまいます~ shm01.gif
「右斜め上」方向の移動を含むものは対称性から,「左斜め上」方向の移動を含むものと同数だけありますよ。

e10_20140201024029443.jpg


そして上記以外のもの。
「下」方向の移動が【 】回に決まる,なんていうヒントがついていますね。
(3)で考えた,6回で A→D 移動するもののうちはじめ3回で C に到達するもの
なんかがこの「上記以外のもの」にあたるので,(3)の条件を満たす動き方を1個考えてみたら
もう「下」方向の移動が何回かは分かってしまいます。
そこに着目しなかったとしても,とりあえず条件を満たす動き方の例をいくつか見付けてみると
どのような動き方であっても「左斜め下」2回,「右斜め下」2回,「下」2回の移動になっていることに気付きます rice_hungry.gif


e11_20140201024030be0.jpg




条件を満たす動き方の例をいくつか見つけて,実験的な検証から
動き方の法則性を探っていくということが求められる問題だったと思います~~ rabi_shy.gif

誘導に乗ればいいので方針立てについては苦はないはずなのですが,
そもそも「上」方向の移動を含むもの,「左斜め上」方向の移動を含むもの,「右斜め上」方向の移動を含むもの,
そしてそれ以外のもの,の4パターンに分類することの意義というものはどういったところにあったのでしょう。
これが2次試験の単問であったなら方針立てでも悩みそうですね。

A から D まで最短で移動しようと思ったら,4連続で「下」方向へ動けば良いので,
移動回数は4で済みます。
ただ,いまは6回で到達する動き方を考えなければいけないので,「下」方向への移動4回に
あと2回分余計な移動を付け加えれば条件を満たす動き方の一例が作れそうですよね。
その2回分は「行って戻るタイプ」のものでなくてはいけないので,

「下」4個 + 「上」「下」1個ずつ   及びこれらの順番を並べ替えたもの,
「下」4個 + 「右斜め上」「左斜め下」1個ずつ   及びこれらの順番を並べ替えたもの,
「下」4個 + 「左斜め上」「右斜め下」1個ずつ   及びこれらの順番を並べ替えたもの,


の3パターンが作れます mush.gif
一方で,「下」1回の移動は「左斜め下」「右斜め下」1回ずつの移動に置き換えることが可能です。
「下」4個のうちいくつかを「左斜め下」「右斜め下」に置き換えることで「下」移動が4回未満になる
動き方も構成できそうですが,実際に可能なのは2個を置き換えた

「下」2個 + 「左斜め下」「右斜め下」2個ずつ   及びこれらの順番を並べ替えたもの
 
だけになります。
以上から大きく4種類に分類することが出来ましたが,ちょうどこの分類は
誘導で与えられていたものと結果的に同じものになっています hunayurei.gif

このように,本問は最小の動き方を起点にして分類方法を考えていくということが有効な問題のようですね。
ほかにも「下」移動の回数を0回,1回,2回,と増やしていきながら分類方法を考えるなど,
色々考えることが出来そうです。



最後に,手間はかかるけども一応もう少し事務的に処理できるベクトルを使ったアプローチを試してみます hiyos.gif


6回の移動のうち,1の矢印の方向の移動が p 回,2の矢印の方向の移動が q 回,
3の矢印の方向の移動が r 回,4の矢印の方向の移動が s 回,5の矢印の方向の移動が t 回,
6の矢印の方向の移動が u 回であったと仮定しましょう~
このとき p+q+r+s+t+u=6 になっているわけです。

スタート地点 A を基準点とする位置ベクトルを考えることにして,
1の矢印の方向1回分の移動を表すベクトルを (→a), 2の矢印の方向1回分の移動を表すベクトルを (→b)
とおいてみると,この2つのベクトルは1次独立で,6回の移動で到達する点を表す位置ベクトルは
(→a), (→b) の1次結合で一意的に書けますよね。

その表示を α(→a)+β(→b) とすると,
このときの係数 α, β は p, q, r, s, t, u の1次式になっています。
そして,到達点が D であることから, α(→a)+β(→b)=-4(→a) 
が成り立たねばなりません~
このことから, α=-4 かつ β=0 となるように設定すれば良いことが分かります eto_ushi.gif

以上で p, q, r, s, t, u の関する1次の関係式が3本得られたので,
それらと 0≦p≦6, 0≦q≦6, …, 0≦u≦6 の条件を組合せて
実現可能な (p,q,r,s,t,u) の組を絞り込むという方針です~ dog_shy.gif



e12_20140201024031f57.jpg

e13_20140201024053cc6.jpg


e14_20140201024053514.jpg
e15_20140201024054c06.jpg
e16_2014020102405536c.jpg


事務的に処理できるのは非常の良いのですが
文字数が多いというのが難点ですね~~






それでは今回はこれにて終わります~ dolphin.gif





     
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。