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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第一問

2014.02.09 18:41|高校入試問題
どもども。


ここ最近はセンター試験の話題ばっかやってたんで
たまには別のことをやりましょう~~ w05.gif

今回は今月4日に行われたばかりの宮城県の前期公立高校入試の数学の問題を取り挙げます~
高校入試の問題は久しぶりですねーー

この前期入試というシステムはまだ今回で二度目なので
色々手探りの部分もあるんだと思いますが,
多くの人が思った今年の問題の印象は,「去年より易しい!」だと思います~
自分もそのように感じました~今回のほうが楽です。
とはいえ,倍率は高いので合格を手にするのは相変わらず大変ですけどね!

もしかしたら後期試験のほうが今回は難易度が高いかもしれないですよー


今回はそんな前期入試の第1問をやります~

問題はこの辺などから~ ぺんぎんmini
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


第1問は小問集合です~
基本的な計算問題を中心とした,なるべくパーフェクトで突破したい部分でございます~

それではさっそく見ていきましょう~


まず(1)は簡単な加減の混合計算です~
乗除は混じっていないので,結合法則や交換法則などを使って
自分にとってやりやすい順序で計算してみると良いです~ senpuki04.gif

f1_20140209162231291.jpg



続いて(2)ですよ~
今度は足し算と掛け算が混じった計算,しかも分数が出てきます。
加減よりも乗除が優先されるという基本を忘れないようにしましょう~ ningyou.gif


f2_201402091622320d0.jpg



次は(3)です~
2つの x に関する多項式があって,それぞれ A, B という文字に置き換えられています。
A-2B の中の A と B に与えられている多項式を代入して整理すればOKです~

f3_20140209162232c49.jpg



次は(4)です~
単項式の割り算ですねー。
10x^3y÷5xy^2 というのはここでは (10x^3y)÷(5xy^2) の意味に捉えます。
係数同士, x の累乗同士, y の累乗同士をそれぞれ割り算します。
x^3 は x×x×x (←エックスと乗算記号が区別しにくいね!!)
y^2 は y×y とばらして書くと約分したときに何がどれくらい残っているかを判別しやすいので
この手の計算が苦手な人はそういうやり方を試してみてはどうでしょうか~ eto_ushi.gif

f4_20140209162233e1a.jpg



次は(5)です~
因数分解の問題です~~
公式 x^2+(A+B)x+AB=(x+A)(x+B) を使うタイプの問題ですね~
x ではなくて a になってはいますがやることは変わりません。
足して4,掛けて3になる2数を探してみてください~ eto_u.gif

基本的に掛けて3になる数字の候補を先に考えて
その中から足して4になるものをピックアップするというやり方が効率よいです。

f5_20140209162234048.jpg


次は(6)です~
2次方程式の問題ですよ~。
因数分解して解ければ非常にありがたいのですが,どうやら上手くいかないようです。
おそらく,解くとルートとかが出てくる面倒くさいタイプなのでしょう。
そこで,いわゆる平方完成をして (x+a)^2=k という形に持っていきます kaeru_en2.gif

(x+a)^2=k という式は展開して整理すると x^2+2ax+a^2-k=0 になります。
これが x^2+x+2=0 と一致するようにしたいので 2a=5 になるように調整してやります。
つまり a=5/2 ですね。 (x+5/2)^2=x^2+5x+(5/2)^2 なので
(x+5/2)^2 という項を作るには (5/2)^2 が必要です。
そこで, (5/2)^2 をムリヤリ式の中にねじ込みます。
と言っても,勝手にねじ込んだら等式が成立しなくなるので,等式としての辻褄が合うように
(5/2)^2 を足して引くという帳尻合わせをします。
足して引くという一見なんの意味もなさそうなことを敢えてすることの意図をしっかり理解しておきましょう~

無事に平方完成ができたら x+5/2 を1つの固まりとみなして(例えばそれを A とでもおいて)
A^2=k という A の2次方程式を解くつもりで計算を続けてください~

f7_201402091622563d9.jpg

この一連のプロセスを,「面倒くさいから公式化しちゃえ 」といって
公式にしてしまったものが2次方程式の解の公式と呼ばれるものです。
解の公式を知っている人は即座に答えが出せます~ heratss_blue.gif
heratss_blue.gif



次は(7)です~
統計の問題ですね。
ある中学校の生徒に通学にかかる時間のアンケートを取ったようですよ~
そのアンケート結果を表にしたものが載っているわけですが,
人数ではなくて相対度数についてまとめたものになっています kuma_fly.gif
具体的な生徒の数は一切挙げられていません。
何だかややこしそうですねー。

それぞれの階級の度数を度数の合計で割ったものを
それぞれの階級の相対度数といいますね。
例えば生徒の合計人数が300人で,通学にかかる時間が
35分以上40分未満の生徒が9人いたとすると,この階級の相対度数は
9/300=0.03 となるわけです~
度数の合計を1とみたときに各階級の度数がその中に占める割合がどれくらいか
を表しているのが相対度数です。
全体を100とみたときの割合を考えたものが%表示だったので,似てますよね。
相対度数で表示された割合を100倍してやれば%表示になるわけですね~

通学に25分以上かかる生徒の割合が知りたいので,
25分以上30分未満,30分以上35分未満,35分以上40分未満の3つの階級の
相対度数を足してみたら良いです~ kitune.gif


f8_20140209162257190.jpg

基本に忠実に,人数を使った計算にこだわりたいという場合は,
生徒の人数の合計を例えば x 人などとおいて,各階級に属する人数を x を用いて
表してみると良いと思います~

f9_201402091622574da.jpg




次は(8)です~~
三平方の定理を使う計算問題ですよー。
△ABC は直角三角形で,斜辺が3cmであることが与えられています。
残りの2辺については長さは与えられていませんが,辺の比が 1:2 であることは分かっています。
1:2 と聞いて反射的に辺の比が 1:2:√3 の直角三角形だと思い込んで計算してしまわないように
注意してくださいね。斜辺以外の2辺の比が 1:2 なので今回は違います。

AC=x cm, BC=2x cm とおいて AB^2=BC^2+AC^2 の式に代入してみましょう~ kawauso.gif



f10_201402091622586d4.jpg



最後は(9)です~~
反比例と変域に関する問題です~~
変域を求める問題を解くコツはグラフを使って考えることです
情報が視覚的に目に飛び込んでくるので罠に引っかかりにくくなりますよ~
(2次関数の変域の問題の場合は特に罠が仕込まれやすいですよ)
今回ははじめから図が与えられているのでちょっとラッキーです。

まず A(2,5) を通るという情報から y と x の間の関係式を求めましょう~
y=a/x とおくか xy=a とおくかして, x=2, y=5 を代入して a を求めましょー。

求めたいのは 1≦x≦5 における y の変域です。
x の変域 1≦x≦5 というのは図でいうと横幅にあたるものですね。
この範囲における y の動く縦幅を考察することになります。
反比例のグラフなので 1≦x≦5 では y は x が大きくなるにつれてどんどん減少します。
というわけで x=1 で y は最大, x=5 で y は最小になっています。
1≦x≦5 につられて 10≦y≦2 などとしないようにしましょねー kudan.gif



f11_20140209162258925.jpg




第1問については,まぁ,こんなとこですかねーー mush.gif









   
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