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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第二問

2014.02.10 00:00|高校入試問題
どもども。


今回は今年の宮城県の前期公立高校入試の第2問をやりますー


問題はこの辺などから~~ FULL_2013_02_26_213320.gif
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


第2問もまた小問集合のような感じです~


それでは具体的に見ていきますよ~ milk.gif

最初は連立方程式を使って解く文章題です~
中学校で吹奏楽部のステージ発表があるらしくて,
何台かある長いすに観客が何人かずつ座っていくというシチュエーションです~

まずは4人ずつ座るとどうなるか,という点について
長いすの数が足りなくて座れない観客が14人出てしまうということらしいです~



g1_20140209191651677.jpg


長いすが全部で x 台あり,観客が全部で y 人いるとするとき,
s と y の間に成り立つ関係式を求めるというのが最初の設問です。
何に着目して立式するかによって様々な解答ができると思いますー

例えば観客数を2通りに表して等式にしてみましょう~
長いすは全部で x 台あり,1台あたり4人が座っているということは
長いすに座れた観客の数は 4x 人ということになりますよね。
それに加えて座れなかった人が14人いるので,観客は全部で (4x+14) 人と表せます~ s2_sum_sunflower.gif


g2_20140209191651d4d.jpg

基本的に y=4x+14 を式変形して得られるものであれば正解になります
長いすの台数を2通りに表してみます。
長いすに座れた観客の数は (y-14) 人とも表すことが出来て,
この (y-14) 人は4人ずつのグループ x 組に分けることが出来ることができます。

g3_20140209191652106.jpg


座れなかった人の数に着目すると,観客数から座れた人数を引けば出てくるので

g4_20140209191652138.jpg


などのような式を立てることも可能です。


(2)では今度は長いす1台に5人ずつ座ったシチュエーションも考えています。
全員が長いすに座ることが出来て(しかもピッタリ5人ずつ),長いすは2台余ってしまうそうですよ~ 


g5_20140209191653c41.jpg


この5人ずつのシチュエーションについて,(1)と同様に x と y の関係式を求めることが出来ます。
例えば,長いす1台あたり5人が座っていて,それが (x-2) 台分だから
観客数について y=5(x-2) ですね。
(1)の関係式と併せて x, y に関する連立方程式が得られます~ whale.gif


さてこの(2)は何を問われている問題か確認しておきましょう。
方程式の応用の文章題では,何を答えなければいけないのかを正しく把握していないと
せっかく正しい立式と正しい方程式の解が得られたとしてもマルがもらえないことがあります。

長いすの台数なのか,観客数なのか,両方なのか,あるいはそのどれでもないのか。
ズバリ今回は観客数です。つまり y の値が問われています。

といことなので連立方程式を解いて y の値を答えにすればよいわけです~
x の値は出しても出さなくてもどちらでも構いません。
ただ,検算をしやすくするためにも x の値も出しておくほうが無難かと思いますよ~ s1_spr_chulip.gif


g6_20140209191654651.jpg

 g7_20140209191724856.jpg


この問題は連立方程式を使って解くというのが標準的な解法だと思いますが,
方程式を使わず算数でもちゃんと解けます。

例えば次のような考え方をしてみるといいですね。
長いす1台に5人ずつ座ってるシチュエーションをまず考えます。
ここで長いす1台につき1人の人間をちょっと呼び寄せてみましょう
これで5人座ってた各いすには4人ずつが残されます。
また,呼び寄せてきた人たちのうち8人を余っている2台の長いすに4人ずつ座らせてみます。

このとき全ての長いすに4人ずつ観客が座っていることになるので
この時点で長いすに座っていない人間は14人じゃなければいけません。
ということは,最初に呼び寄せてきた人数は 14+8=22 人であることが分かります。
5人ずつ座っていた各長いすから1人ずつ集めてきて22人になったということは
5人ずつ座っていた長いすの数が22台だということですよね。
したがって,観客数は 5【人/台】×22【台】=110【人】 でジ・エンドです~ kaeru0-01.gif



g8_20140209191725146.jpg







それでは次の問題へ進みましょう~

今度は円柱や球の表面積に関する問題ですよ~
円柱 P は底面の円の半径が4cm,高さが14cmです。
(1)はこの円柱 P の表面積を求める設問です。

上面と下面の円の面積に側面積を足してやれば表面積が出てきますね~ osake02.gif
上面と下面の面積については特に問題はないと思います。
悩むかもしれないとすれば側面積でしょうか。

立体の表面積を考える際に有効な手段として,
その立体の展開図を考えるというものがあります~

円柱の場合,長方形に円が2個くっついてるような展開図が描けます。
この長方形。縦14cmであることは明白ですが,横の長さはいくらになるでしょうか。

元々,上面または下面の円がピッタリくっつていたわけだから
横の長さは底面の円の円周の長さと等しくなっています kinoko06.gif

g9_201402091917250df.jpg



(2)では円柱 P と表面積が一致する球 O を考えます。
級の表面積・体積の公式はちゃんと覚えていますかー?

まずは球 O の半径をちゃちゃっと求めてしまいましょう~
設問は,球 O の半径と円柱 P の底面の円の半径に関して,
どっちがどれだけ長いかを答えよというものですから,
正しく球 O の半径が求められていたらあとはやっつけ仕事です。

g10_2014020919172602b.jpg






次の問題に進みましょう~
2次関数がらみの問題ですよ~
関数 y=(2/3)x^2 のグラフと直線 y=k が相異なる2点で交わっているそうですよ~
その交点を A, B とします(ただし x 座標が正の方が A )。

(1)は k=6 であるときの A の座標を求める設問です~
A(a,(2/3)a^2) とおいてみましょう。 k=6 なので (2/3)a^2=6
が成り立てば良いことが分かります okojyo02.gif


g11_20140209191726ac8.jpg




(2)は △OAB が直角二等辺三角形になるときの k の値を求めるものです。
y=(2/3)x^2 のグラフも直線 y=k も共に y 軸に関して対称なので,
OA=OB が成り立ちます。したがって, △OAB が直角二等辺三角形になるとすれば
それは OA=OB, ∠AOB=90° であるようなものでなければいけません

線分 AB と y 軸の交点を C とします~
このとき CO=CA になることを利用して k を求めたいと思います。

CO=CA であることを説明する方法はいろいろあるかと思います。
例えば △ACO が ∠COA=90° の直角二等辺三角形になることから従います。
これは △AOB∽△ACO を証明することで確かめられます neko02.gif



g12_20140209191727573.jpg
g13_20140209191758f32.jpg



他にも例えば ∠CAO=45°, ∠ACO=90°(このとき自動的に ∠COA=45°) から 
△AOC が直角二等辺三角形になることが言えたりします


また, △AOC が直角二等辺三角形になることに着眼しなくても
対称性から C は線分 AB の中点なので,
これが直角三角形 OAB の斜辺 AB の中点であることから
CA=CB=CO となる
ことがいえたりもします~
(O が線分 AB を直径とする(C が中心の)円の円周上にあることになります)


g15_201402091917593ce.jpg



ある程度慣れてきたら ∠AOC=45° であることから即座に
直線 OA の式が y=x であるということが分かってしまいます。

g14_20140209191759fee.jpg




その他にも, A(a,(2/3)a^2) とおいて OA と AB の長さを a の式で表して
AB=√2OA が成り立つことから a を求めてみるという作戦なんかもあります。
√の中に a が入ってたりするので,ちょっと面倒臭い感じがします。

g16_201402091918005aa.jpg









まぁこの問題はこれくらいにして最後の確率の問題に進みます~ kinkan.gif

2つの袋 A と B があり,
A には 白1 白2 白3 赤3 赤4
B には 赤1 赤2 白4 白5

の球が入っているそうですね~


まずは袋 A から1個球を取り出して,それが赤球である確率を求めます。

5個のうち2個が赤球なので確率は 2/5 ですねー

g17_201402091918001b4.jpg



次は袋 A, B から1個ずつ球を取り出すときに
球に書いてある数字の和が5になる確率を求めます~

まずは2個の球の取り出し方が全部で何通りあるか調べます~
樹形図や表などを使って書き下してみるとよいでしょう~ rokuro.gif

g18_20140209191801f4e.jpg


中学数学の範囲ではこのようにやるのが通常の解法となりますが,やっぱ面倒くさいですねー。
高校数学の範囲でなら,積の法則から 5×4=20 という風に即座に場合の数が出せたりします。


さて20通り全部を書き下してしまったので,
この中から2個の数字の和が5になるものをピックアップしてくればOKです~ roket.gif
4通りありますね。


g19_20140209191822ddc.jpg
g20_20140209191823f21.jpg




最後は「取り出した2個の玉の色が異なり,かつ数字の和が奇数」になる確率を求める設問ですー
さっき列挙した20通りのパターンの中から条件を満たすものをピックアップしてくればOKです~ kaeru_en4.gif
5通りありますよ~


g21_201402091918235e7.jpg












まぁ第2問はこんなとこですねー kirin.gif








         
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