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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第三問

2014.02.11 00:00|高校入試問題
どもども。


今回は今年の宮城県の前期公立高校入試の第3問をやりますー


問題はこの辺などから~~ 箱ドットおにおん2mini
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


何だか面倒くさそうな1次関数の応用問題です~
何が面倒くさいか。それは問題文を読むのがかったるい

問題文の長い問題はシチュエーションを理解するだけで時間が掛かるからあまり好きではないんすよねー
理科でも実験の手順とかをやたら長々と述べてある長文の問題とかよくありますよね。
あーいうのはなかなか「さぁ解いてやるぜーー 」という意欲が沸かなくて困っちゃうんですよねぇー

・・・という感じの1次関数の問題ですよ~
宮城県の公立高校入試はこういう問題多いですね。


さて,では問題のシチュエーションを理解していきましょう~
太郎さんが自転車で公園まで一本道を駆け抜けていくんだそうです~ jitensya.gif
ただ,途中に2ヶ所工事している場所があり,
そこでは30秒毎に赤と青が切り替わる信号機で交通整理されてるらしいのです~
運が悪く赤信号のタイミングで信号機地点にやって来てしまうと
何秒か足止めを食らってしまうから気をつけてねーー
というシチューションらしい。


h1_20140210022315f73.jpg



自宅から信号Aまで300m,信号Aから信号Bまでも300m,
信号Bから公園までは400mという位置関係らしいですね、
自宅から公園までは1000mあるわけです~

また,信号A,Bはそれぞれ別々のタイミングで赤青が切り替わるようなので
それも注意しておきたいところです。


まず最初の設問は太郎さんの移動速度を求めよ,というものですな。
ちょうど家を出てから75秒で信号Aに到達したみたいです~
ということは,300mの道のりを75秒で移動するスピードだということですね hanaji03.gif



h2_201402100223163c4.jpg

1秒で4m。
うーん,普通の歩道なんかだとそのスピードを維持し続けるってのは何だか危ないですねー h-ichijiteisi.gif









ここら辺からだんだん話がややこしくなってきますよー

太郎さんは信号Aで30秒足止めを食らったようです。
つまり信号Aに着いた瞬間に赤信号になってしまったわけですね。
なんて運が悪いんでしょうか ga-n01.gif
ていうか信号Aに着くまで秒速4mを保ってるのだから超急ブレーキをかけてますよ太郎さん。
慣性の法則で吹っ飛びますよ太郎さん。

30秒待った後,再び出発するわけですが信号Bに差し掛かったとき
またもや赤信号で足止め
を食らっていまいます。
相変わらず運が悪いですねー。
ここでは何秒停止していたのかは問題文では説明されていません。
ここの停止時間は後で設問で問われていますので,一旦保留しておきましょう。

ちなみに,信号AとBの間の距離も300mだったので,
自宅から信号Aまでと同じく75秒を要します。
わざわざ秒速4mを使って所要時間を計算し直す必要はないですよ~ fuurin04.gif

信号Bが青になった後は公園までノンストップで駆け抜けます~
公園に着いたのは自宅を出てからちょうど300秒後だったそうです~



h3_20140210022316411.jpg




次の設問は,自宅を出てから150秒後には自宅から何m離れた地点にいるかを答えるものです~

上のグラフを見てみると,150秒経過時は信号Bに向かってせっせと自転車をこいでいるタイミング
であることが分かりますね。
信号Aが青になって再始動してから45秒後なので,信号Aのある地点より更に
4(m/秒)×45(秒)=180(m) だけ進んだ地点にいる
ことになります~ crown04.gif



h4_20140210022317ec9.jpg




他にもいくつかの考え方で答えの480mを求めることが出来るのでちょっとだけ挙げてみます~

まず,上の解法以上に簡単に求める方法があります。
太郎さんの移動速度は信号待ちしているとき以外は常に一定で秒速4mですよね。
150秒間のうち信号待ちしていたのが30秒だから,
残りの120秒はずっと秒速4mで移動していたことになります 8190575.gif

h5_20140210022317e58.jpg



1次関数の応用問題ということなので直線の式を利用してみる手もあります~
太郎さんが家を出て x 秒後に太郎さんは自宅から y m 離れた地点にいるとして
x と y の間の関係式を求めます。
グラフを見ても分かりますが 105≦x≦180 のときは1つの直線の式で y を表すことが出来て
x=150 はその部分に含まれています。
グラフの横軸は単位が「秒」,縦軸の単位は「m」なので
太郎さんの移動速度が秒速4mであることから,直線の傾きは4です~

y=4x+k の形で書けるのであとは点 (105,300) を通ることから k を求めればOK~ 8187095.gif
あとは得られた直線の式に x=150 を代入して y の値を求めてください~


h6_201402100223184b9.jpg





次の設問へ進みましょう~

信号Bで足止めを食らったのが何秒かを求めるものです~
これも色々な考え方で求めることが出来ます~




まずは信号Bから先の残りの400mを移動するのに何秒かかるかに着目する考え方で解いてみましょう~

秒速4mだと400mを移動するのに 400÷4=100(秒) かかるわけですね。
自宅を出てから300秒で公園に着いているので,
その100秒前に信号Bから出発した事になります。
つまり信号Bから出発したのは200秒経過時だということになります~~
180秒経過時に信号Bに着いているので,停止していた時間は 200-180=20(秒) と分かります~ 8184765.gif

信号Bに着いたのが180秒経過時だから,その後120秒かけて公園に着いているので
120-100=20(秒) として求めることも出来ますねー


h7_20140210022344998.jpg





今度は,そもそも1000mの距離を秒速4mで移動するのに何秒かかるかに着目してみましょう~

もし信号AでもBでも足止めを食らわなかったとしたら,
公園まで 1000÷4=250(秒) あれば着いてしまうのです~
実際は300秒かかってるわけだから,全体で50秒間信号待ちをしていたことになるわけですねー

このうち信号Aで止まっていたのは30秒だったので
信号Bで止まっていたのは 50-30=20(秒) って分かりますねー 8257300.gif



h11_20140210022347b05.jpg




今度は1つ前の設問で 105≦x≦180 において y=4x-120 が成り立つことを
求めていた場合に有効な考え方になります~

もし信号Bで足止めを食らわなければ, x>180 のときも同じ式 y=4x-120 が成り立つ
はずです。このとき, 1000=4x-120 とおくと x=280(秒) が出てきます。

信号Bで足止めを食らわなければ,280秒で公園に着いてしまうのです 8269809.gif
実際は300秒かかっているので,信号Bでは 300-280=20(秒) だけ停止してたことになります。


h8_2014021002234507f.jpg
h9_20140210022345c11.jpg




今度は信号Bを越えた後に成り立つ直線の式を求めてみます~

これはやはり傾き4の直線です。あとは点 (300,1000) を通るように調整してやればよいですね。
ここで得られた直線が y=600 となるときの x を求めれば,
信号Bから再び動き出したのがいつなのかが分かります~

h10_20140210022346545.jpg






では,そろそろ最後の問題に進みましょうかーー
今回の前期試験の中では一番難しかったんじゃないかと思うのがこの最後の設問です~ 8190579.gif

太郎さんの弟が40秒遅れで自宅を出発するらしいのです~
弟の移動速度を上手く調整して,2つの信号で一切足止めを食らわないようにしたいというわけなんですね。
なおかつ,太郎さんより後に公園に着くようにしたい,とのこと。
これらの条件を満たすとき,弟は最短で何秒で公園に着けるか
ということを問うているなかなか厄介な問題です~~


2つの信号は30秒毎に赤と青が切り替わるのでしたね。
信号Aは x=75 のタイミングで赤になり x=105 で青に切り替わるということが
既に分かっています。このことからその前後の赤青切替のタイミングも全部分かってしまいます。

h12_20140210022347831.jpg


上の図の斜線部分の時間帯が信号Aが赤になっている部分です。
斜線部の左端は含みますが右端は含まないと思ってください~
弟は斜線部分でないタイミングで信号A( y=300 )を通過しなければいけません 12.gif



同様に信号Bの切り替えタイミングも把握してみましょう~
x=180 のタイミングでは赤で20秒後の x=200 で青に切り替わっています。
このことから下の図のようなタイミングで赤青が切り替わります~
やはり斜線部の左端は含みますが右端は含みません。
弟は斜線部分でないタイミングで信号B( y=600 )を通過しなければいけません

h13_20140210022415fe4.jpg


弟は信号待ちをしないということは,弟の足取りを示すグラフは
(40,0) を通る1本の直線の式で書けなければいけません。
この直線が2直線 y=300, y=600 と交わる点の位置をうまく調整してやりたいわけです。

太郎さんより後の到着であることも必要なので, x>300 であるようなタイミングで
y=1000 に到達しなければいけません。

ここで試しに,2点 (40,0) と (300,1000) を通る直線の式を考えてみましょう。
これは計算してみると y=(50/13)x-(2000/13) になります~
弟は秒速(50/13)mでノンストップで突っ走れば太郎さんと同時に公園に着くことが出来ます。
したがって,太郎さんより後に着くためには秒速(50/13)mよりも遅い速度で突っ走らなければいけませんねー 05(1).gif

ただ,実際に秒速(50/13)mで進んでみると,信号Aは青信号で通過できるのですが,
信号Bでは赤信号で足止めを食らってしまうことが計算で確かめることが出来ます~



h14_20140210022415e1f.jpg

h15_201402100224162ae.jpg

h16_20140210022416b2b.jpg


最速のパターンを見つけなければいけないので,
秒速(50/13)mを基点として,そこからちょっとずつ遅い速度にしていってみましょう~ 05.gif

秒速(50/13)mのときは x=196 で信号Bに到達しているので,4秒しか信号待ちをしません。
だんだん速度を落としていって,4秒遅れの x=200 のタイミングで信号Bに到達できる速度にしてみましょう

こうしてみると信号Bには青信号に切り替わったときに到達できるので信号待ちがなくなります。
秒速(50/13)mより遅い速度の中で,信号Bで足止めを食らわないものとしてはこれが最速です。

ただし,これはあくまで信号Aを停止すること無く通過できることを前提としています。
願わくばこの速度で突っ走るとき本当に信号Aを青で通過できていて欲しいのですが~~ 03.gif

2点 (40,0), (200,600) を通る直線の式は計算してみると y=(15/4)x-150 
になっています~  秒速(15/4)mで走ることになりますね。
この式において y=300 としてみると x=120 が出てきます。
x=120 は信号Aが青信号のタイミングです

やったーーーーー
秒速(15/4)mで突っ走れば x=120 で信号Aを無事に青で通過でき,
x=200 で信号Bを無事に青で通過でき,x=300より後に公園に着きます~~
これより速度が上だと信号Bで足止めを食らうわけですから,
この秒速(15/4)mというのが条件を満たす速度の中では最速になるわけです~~


h17_20140210022417171.jpg



なかなか厄介でしたねーー nezumi02.gif

もう1つほど解法を与えてみます~

はじめ信号AかBかどちらかに着眼してみます。
ここではBのほうにしてみましょう~

弟は信号Bを青のタイミングで通過しなければいけません。
例えば, 140≦x<170 の間は信号Bは青ですね。

x=170 のタイミングで信号Bに着く速度は計算してみると秒速(60/13)mになります。
しかし,この速度だとそのままのペースで突っ走れば太郎さんより前に公園に着いてしまいます。
これではスピードが早過ぎるのです。
したがって, x>170 の青信号タイミングで通過しなければいけません

次の青ゾーンは 200≦x<230 です。この中でも最短の
x=200 のタイミングで信号Bに着く速度は上の解法でもみたように秒速(15/4)mです~
この速度でなら太郎さんより後に公園に着くことが計算から確かめられるので,
もしもこの速度で突っ走ったとき信号Aを青信号で通過できるなら,
「秒速(15/4)mで進むのが最速」が結論づけられます~~

そして実際,この速度だと信号Aを青で通過できちゃうんですよね turu.gif





h18_20140210022417f6d.jpg
h19_2014021002242882a.jpg






答えを得るまでにいくつかの検証を重ねなければいけなかったので
時間がかかってしまいます。
さっさと他の問題に進んでしまって,最後にじっくりと取り組むのが正解だろうなーー 15927445.gif
と思います~~


















                   
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テーマ:高校受験
ジャンル:学校・教育

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