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2012年東北大入試(後期)理系数学第6問その1

2012.09.05 02:09|大学入試問題
どもども。


いよいよ今年の東北大後期の理系数学も第6問を残すのみとなりました~yotuba14.gif

問題はこちら箱ドットおにおんmini

m6

パッと問題文を見た感じだとすごーく難しそうです~star-ani01.gif
でも実際のところ,必ずしも難しいといえるほど難しくはないような気がします。
でもこの手の,不等式評価と積分や極限が絡む問題は不得意とする人も多いかもしれませんね~
落ち着いてしっかり考えれば決して完答も不可能ではありません~sosu.gif


それでは(1)から見ていきましょーー

m1.jpg

△ABCは30°,60°,90°型の直角三角形です。
辺ABをn等分して細長ーい三角形CP_{k}P_{k+1}を作ってその内接円の半径を求める問題です~osake02.gif


m2.jpg

内接円半径の求め方はその気になれば色々あるかと思うんですが,
今回の問題においては辺の長さが複雑な値になっているため,
一番シンプルな解法を除くと,あとの解法は大体計算が大変になりすぎて挫折必至になってしまいますnurse01.gif

まぁ,普通はその一番シンプルな解法をとるはずなので,恐らく問題は無いはずなのですが~

ではその方法で解いてみましょう~
まずは基本的なデータとして三角形の3辺と面積を出しておきます。

m3.jpg


標準的な解法としては,
三角形CP_{k}P_{k+1}の面積は3つの三角形IP_{k}P_{k+1},IP_{k+1}C,ICP_{k}の面積の和に等しいことを利用します~k-01.gif

m4.jpg
m5.jpg


…とまぁ,こんな風に求められます。

さて,他にどのような解法が考えられるでしょうか~jitensya02.gif
例えば,△H_1H_2H_3の外接円の半径を求めるという発想がありますな。
2∠IP_kH_1=∠CP_{k}P_{k+1} に着目して,sin(∠CP_{k}P_{k+1})=2sin(∠IP_kH_1)cos(∠IP_kH_1) で方程式を立てる発想もありますな。

最初に述べたように,この問題では数値が面倒な値なので大体の場合に計算は煩雑になります。

そんな中でも比較的簡単に答えに辿り着けそうなやり方を1つやってみます~
四角形IH_3P_kH_1が円に内接する四角形であることに着目して△PH_1H_3と△IH_1H_3に余弦定理を
適用して (H_1H_3)^2= の形で方程式を立てますakaname.gif

まずは cos(∠CP_{k}P_{k+1})の値を求めましょう~
∠CP_{k}P_{k+1}は鈍角なので,cosの値は負になることに注意です~dog_shy.gif

m6.jpg

次はP_kH_1の長さを求めます。
これも内接円関係の問題における必須テクです~


m7.jpg

m8.jpg


あとは余弦定理を使うだけです~star-ani01.gif


m9.jpg


最初に求めた値とはちょっと違う感じの値が出てきましたが~
これは以下に示すように確かに最初の値と等しいものです


m10_20120905162808.jpg


四角形IH_3P_kH_1が円に内接する四角形であることに着目するという方針については
ほかにトレミーの定理を使うという作戦も立てられますね。




次回は(2)以降をやっていきましょう~body_stretch.gif





     
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