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平成26年度 【前期】 宮城県公立高校入試 数学 第四問

2014.02.12 00:00|高校入試問題
今回は今年の宮城県の前期公立高校入試の第4問をやりますー


問題はこの辺などから~~ kaerum mini
http://www.kahoku.co.jp/spe/kokonyushi2014/img-204133424.pdf


図形の問題です~~
平行線と線分の比の関係などを駆使する問題です~~
昨年と同様に前期試験では円の性質があまり出てきませんねー

最後に待ち構えているのは面積比の設問です。
合同・相似・円あたりはみんな熱心に勉強するのですが
面積比の問題については割と盲点になりやすいんですよねーー rabi_happy.gif
しっかり理解ておきたいところです~



まず最初は平行線と線分比の関係を使って線分 DE の長さを求める設問です。
DE//BCなので AD:AB=DE:BC が成り立つので,この関係式を利用します~ poloneck.gif


i1_2014021020463223e.jpg




ここまではまぁ準備運動です~ body_jump.gif

ここから図形がだんだん複雑になっていきますよ~
DE を E のある側に延長してその上に DE:EF=1:3 となるように点 F を取ったようです。
このとき △ADE∽△CFE であることを証明するのが次の設問です~

i2_20140210204633c8a.jpg

三角形の相似条件は3つほどありましたけど,
使う機会の多さでは圧倒的に「対応する2組の角がそれぞれ等しい」が首位になるでしょう。
そのおかげで残り2つの存在感が薄れてしまいがちです~ car2_dump.gif

この設問では3つの条件どれを使っても証明することが出来るんですが
実は存在感の薄い「対応する2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」を使うのが
一番記述量が少なく済みます~ dog_happy.gif

対頂角は等しいので ∠AED=∠CEF であることはすぐ分かると思います。
それを挟む対応する2辺について比が 1:3 になっていることから証明ができます~

i3_20140210204633d03.jpg




与えられた図を見て 「あれ?四角形 BCFD って平行四辺形じゃね
って思った人はいませんか?

実際それは正しい直感です。
DF=BC=12cm, DF//BC から1組の対辺が平行で,かつ長さが等しいことが分かるので
確かに四角形 BCFD は平行四辺形になります~

三角形の合同条件や相似条件だけではなく,
四角形が平行四辺形や長方形や正方形やひし形になるための条件もしっかりおさえておきましょう~

四角形 BCFD は平行四辺形であることを利用すると DF//BC だけではなく
DB//FC という平行関係も得られるので,これを利用して
△ADE と △CFE において対応する2組の角が等しいことを述べることが出来ます~ patikapa.gif


i4_20140210204634e9b.jpg



同様に3つ目の条件「対応する3組の辺の比が全て等しい」ことを利用した証明もできます~

以下の証明例は前半の,四角形 BCFD が平行四辺形であることを述べる部分は割愛してあります~

i5_2014021020463421b.jpg



最後の設問は,線分 BF を F のある側に延長し,その上に BF:FH=3:1 となるように
点 H をとるとき, △ADE:△CHG を求めるというものです~


i6_201402102046355d6.jpg



基本方針としては底辺分割の原理を使って
他の三角形や四角形の面積との比を経由しながら最終的に △ADE と △CHG の面積比と結びつける
というものになります~ pig01.gif

三角形の面積公式といえば,おなじみの 底辺×高さ÷2 ですよね。
この公式により,底辺が共通な2つの三角形の面積の比は高さの比と一致するし,
高さが等しい2つの三角形の面積比は底辺の比と一致します。

この原理に基づくと,例えば △ADE:△BDE=AD:BD=1:3 であることが分かります~
また, △BDE:△BFE=DE:FE=1:3(=3:9) であることも分かります~
この2式を組み合わせれば, △BFE との面積比を経由して △ADE:△BFE=1:3×3=1:9
であることが分かるわけですね。
このような考え方を繰り返していって,間にいろいろな三角形などの面積比を挟みながら
最終的に △ADE と △CHG の面積比と結びつけたいわけですよ~ apple01.gif

ここでは一例として, △ADE と △CHG の面積が △FCG の面積のそれぞれ何倍になるかを
求めて答えを出してみたいと思います~ sreep_dog.gif




i7_20140210204702c6a.jpg


△CHG の面積が △FCG の面積の何倍かを求めるためには, 
BG:GF:FH がいくらになるかというのが必要になってきます。
これは仮定の BF:FH=3:1 と, △GEF∽△GCB から得られる FG:BG=3:4 を
組み合わせることで解決します。 FH=a とおいたとき, FG, GB を a の式で表してみると
良いと思いますよ~ hunayurei.gif


i8_20140210204703fb9.jpg


底辺分割の原理の他には,相似な2つの図形の面積比が相似比の2乗になる
という性質を利用することも出来ます~
最近はこの事実も高校から中学数学の範囲に戻ってきたようですねー

この事実を利用すれば上の解法でも △ADE=(7/36)△FCG であることに
もう少し早く到達できるようになったりします hamster_2.gif

i9_20140210204703e21.jpg





ところで, AD:DB=HF:FB=1:3 なので実は AH//DF//BC が成り立っています~ heart2_glitter.gif
直線 DF と線分 CH の交点を I とします。
△ABC と △HBC は底辺 BC が共通で高さも等しいので面積が等しいです。
△ABC に線分 DE を引いたものを高さを変えずにぐにょーーんと右側に寄せたら
△HBC に線分 FI を引いた図形になるんですよね~(いわゆる等積変形
DE=FI=(1/4)BC=3cm であることからも確かめられますが △ADE=△HFI です~
そういわけで △HFI と △HCG の面積比較をしてもよいことになります~ rabi_right.gif

あるいは △ABC-△GBC=△HBC-△GBC より △ABG=△HCG であるから
△ADE と △ABG の面積比較をするという発想でもいいわけです~

i10_2014021020470493a.jpg






また,面積計算の原点に立ち返って 底辺×高さ÷2 の公式を使っていくという発想も出来たりします s2_sum_beach.gif

△HCG は2つの三角形 △GCF と △HCF に分けて考えることにしましょう~
△ADE は AD(=2cm) を底辺としてみます。
△GCF と △HCF は FC(=6cm) を底辺としてみます。
あとは高さの比が分かればよいですね。

下の図のように垂線 GJ, HK, EL を引いて,
三角形の相似関係を駆使して高さの比も出していくことが出来ます~

以下の解答例では既に1回記述してある △GEF∽△GCB の証明部分と
GF:HF=9:7 を求める部分は割愛してあります~




i11_20140210204705e3c.jpg

i12_20140210204705c07.jpg


i13_201402102047168b9.jpg










とりあえずこれで今年の前期公立高校入試の問題は全部網羅できましたね~~

これにて解散! zashiki.gif









               
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