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2014年日本数学オリンピック予選 第1問

2014.02.17 22:27|数学
どもども。


今年のJMO予選の問題たちをそれとなーくやってみることにしましょーー

今回は第1問です~

問題はこの辺などから~ 箱ドットおにおんmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html


トップバッターは図形の問題ですーー

円の接線の性質とか方べきの定理とか使ってさくっと解けますー heri01.gif

下の図のような状況が与えられています~
円 C_1 は円 C_2 に内接してるみたいですね~
直線 OP は円 C_2 の中心を通る円 C_1 の接線で, PQ=QR が成り立っているようです。 
C_2 の方の半径は9だそうです。

さぁ~ OPの長さは何でしょうかーー

という問題ですよー


k1_20140217213855a7f.jpg


OP=x とおくと,PQ=QR=9-x になりますね。
このとき,円の接線の性質から RA=RP が成り立つので
RAの長さ も x を用いて表すことが出来ます。
あとは円 C_2において方べきの定理から RA^2=RQ・RS が成り立つことを利用して
x に関する方程式を立てると良いです~ hana-ani04.gif


k2_20140217213856057.jpg






方べきの定理の代わりに △OAR において三平方の定理を使うなんて手でもいけますねー h-jitensya.gif



k3_201402172138566fe.jpg



他にも色々やり方はあるかもしれないですが
とりあえず第1問はこんな感じでおしまいーー akaname_20120809135852.gif




  k6_20140217213858c32.jpgk5_2014021721385797c.jpg

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