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2014年日本数学オリンピック予選 第3問

2014.02.18 15:05|数学
どもども。

今回は今年のJMO予選の第3問をやってみます~

問題はこの辺から~ ぺんぎんmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html



問題文は1行と短いですが,
手掛かりに気付かなければそれなりに悩んじゃうかもしれない計算問題です~

10!の各正の約数 d について 1/(d+√(10!)) を考えて
それらの総和を求めてくれというお題です~


10!は約数もたくさんあるし, 
1/(d+√(10!)) も1つ1つ分母が違ってくるので
全部を通分して足し算しましょーという方針は恐ろしくしんどくなりそうなわけです。
何かしらの工夫が必要です~ storappu.gif

有限和なので何の気兼ねもなく足し合わせる順序は選べます。
都合のいい足し合わせ方をしていくことにしましょう~

実験的考察として 10!=d×e であるような2つの約数 d, e に着目してみることにします~
1/(d+√(10!)) と 1/(e+√(10!)) の和を考えてみましょー suika.gif



k9_20140218141227c3c.jpg




なんと d も e も含まない 1/√(10!) という決まった値になってしまいました rabi_love.gif

そこで,掛けて10!になるもの同士のペアを作って和を取っていくと 1/√(10!) がいっぱいできるので
総和が何だか求められそうですねー

d が10!の k 番目に小さい正の約数であるとき, 
e は10!の k 番目に大きな正の約数になっている
ことにも注意です。
これは反比例 y=10!/x のグラフでも考えてみたらすぐ分かりますよね。

あとは10!の正の約数の個数を求めてしまえば準備は完了です~ body_stretch.gif




k10_20140218141227a5e.jpg
k11_201402181412283d4.jpg



                  k16_2014021814122971f.jpg





         
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