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2014年日本数学オリンピック予選 第5問

2014.02.19 02:10|数学
どもども。


今回は今年のJMO予選の第5問を取り扱います~


問題はこの辺から~ 81772681-5429-43AA-86F3-CE1D54407314.gif
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html


C(n,r) で二項係数を表すことにしますね~
a+b+c=5 を満たす非負整数の組 (a,b,c) 全部について
積 C(17,a)C(17,b)C(17,c) の総和を求めてくれというお題ですねー bakezouri_20120809140203.gif


このような (a,b,c) の組は全部で H(3,5)=21 (通り) だけあるので
これくらいの量だったら地道に全部足し合わせるということも許容できるかなーという気はします。
とはいえ,もうちょいうまい方法があるんじゃないのー
と思いますのでちょっと考えてみましょう~ dog_shy.gif


まずは場合の数の話に置き換えてみます~
a+b+c=5 の下で C(17,a)C(17,b)C(17,c) という計算が出てくるのは
どういうシチュエーションでしょうか~
例えば箱の中に赤玉17個,青玉17個,白玉17個の計51個が入っているとしましょう~
各色玉は「1」から「17」までの番号が書いてあって互いに区別がつくものとします。
この中から同時に5個の玉を取り出すとき,
赤玉が a 個,青玉が b 個,白玉が c 個含まれているような取り出され方

全部で何通りあるでしょーーーか?
という問題を考えてみると,これぞまさしく C(17,a)C(17,b)C(17,c) 通りではありませんか~ korobo.gif

(a,b,c) の組すべての分これを足し合わせるということは,
結局,51個の中から5個を取り出す方法の総数に等しくなってしまうのです~ kitune.gif


k14_20140219013101556.jpg



場合の数ではなくて,多項式の係数に着目するというアイデアもあります~
(x+1)^51=(x+1)^17(x+1)^17(x+1)^17
の展開式において x^5 の係数を2通りに表してみるという発想でも構いませんよ~ kojika.gif



k15_2014021901310265f.jpg








                
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

No title

感動しました。。。

No title

コメントありがとうございます~

数学にはしばしば感動が隠れてるからやめられないですよね~
思いついても感動するしみても感動します~v-14

非公開コメント

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