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2014年日本数学オリンピック予選 第8問

2014.02.21 00:00|数学
どもども。


今回は今年のJMO予選の第8問を考えてみます~


問題はこの辺とかから~ わんちゃんmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html

ガウス記号なんかが出てくる整数の問題ですよ~
何だか難しそうですねーー

m は1000桁の自然数でどの桁も0じゃないそうです~
n は m 以下の自然数だそうです~
[m/n] に現れる0である桁の個数の最大値を求めよ!だそうですーー futaba.gif


ガウス記号などという小難しいものを持ち出してきているから難解に見えますが
[m/n] というのは要は m÷n=Q 余り R と表示したときの商 Q のことです~

n は s 桁の自然数ということにしておきましょう~
このとき, m÷n の商 Q は必ず (1000-s) 桁または (1001-s) 桁の
どちらか
になってしまいます~
これは m の上 s 桁の部分の数が n より大きいかそうでないかで分かれます~

もっと桁の小さい整数の割り算の例で考えてみると分かりやすいですね。
例えば5桁÷3桁の割り算の場合は,商は2桁か3桁になります。
2桁になる具体例は 10000÷999=10 余り 10
3桁になる具体例は 10000÷100=100
なんかですかね。10000の上3桁100より割る数が大きければ2桁になるのですね。

また, m÷n の商 Q の表示の中で,一度に連続して並べる0の数は最大で s 個です~ bakezouri_20120809140203.gif
(s+1) 個以上並べるには「 m はどの桁も0じゃない」の条件を排除しなきゃいけなくなります。


 n1 1
n1 2



そんなわけで,商 Q が (1000-s) 桁の場合と (1001-s) 桁の場合に
分けて調べていきましょーー been.gif
まぁ何となく (1001-s) 桁の方が桁数も多いし0が多く並びそうな気はしますが~


まずは前者の場合からです~
Q の表示において一度に最大連続 s 個の0が並べるので,
なるべく連続 s 個の部分が多くなるように並べるのが基本です Strawberry02.gif
一番上の位は0になれないので何かしら別の数字を立てて,
それ以降,0が s 個並んでは別の数,0が s 個並んでは別の数,…
をひたすら繰り返すことにしましょう。
これが一番多くの0を並べる方法です。

1000を s+1 で割ったときの商を q, 余りを r とおいてみます。
そうすると, Q の表示の理想形が,はじめに0以外の何かが立って,
その次に 000…000■ (0が s 個並び■は0以外) という固まりが (q-1) 個続いて
最後に0が r 個並ぶ
というものになります~ bear.gif


n2_20140220161618a3e.jpg


これはあくまで理想形なので,実際にこの形を実現させるような(m,n)の組があるかどうかは
吟味してみないと分かりません。

とりあえず0の並べる個数は多くとも {1000-(s+q)} 個だということは分かったので
s+q をなるべく小さくしてこの個数を大きくしてみたいと思います~

相加相乗平均の関係を使って q+s の下限を調べたいと思います~ rabi_love.gif



n3_201402201616199d3.jpg
  n4_2014022016162052e.jpg


0の個数が938個以下であることが分かりました~
なお,実際に938個になるような例は存在しますよ~
例えば, 「899…91」 (9は30個並ぶ) が31個連続してその後1が8個並ぶ
ものを m として n を999…99(9が31個並ぶ)としてみればよいです~
(q=s=31 としています)



同様に商 Q が (1001-s) 桁の場合を調べてみましょう~~
今度は 1000-s を s+1 で割ったときの商を q, 余りを r とおいてみます。
そうするとさっきと大体同じように考えていって q の表示に現れる0の個数が
やはり多くとも {1000-(s+q)} 個ということがいえます~

今度の場合も s+q の大きさを評価してやることで
1000-(s+q)≦939 すなわち0の個数が多くとも939個という結果が得られます~ korobo.gif


n5_2014022016162085b.jpg



もし939個というのが実際に実現可能な個数であるとしたら
求める最大個数は939個ということになりますね~

そんなわけで個数が939個になる例を構成してやりましょう~ robo.gif



n6_2014022016162175d.jpg
n7_2014022016163824f.jpg











         
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