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2014年日本数学オリンピック予選 第9問

2014.02.22 00:00|数学
どもども。

今回は今年のJMO予選の第9問を考えてみます~



問題はこの辺とかから~ FULL_2013_02_26_213320.gif
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html

第4問ぶりに図形の問題です~




o1_20140220231439722.jpg


正方形 ABCD は正方形でその対角線の交点が Oです。
対角線 AC,BD 上に図のように4点 P,Q,R,S があって
OP=3, OQ=5, OR=4 なんだそうです~
直線 AB, PQ の交点 E, 直線 BC, QR の交点 F, 直線 CD, RS の交点 G
が一直線上にあるときに OS の長さがいくらになるかというお題です~


正方形の1辺の長さは与えられていませんが,一旦固定してみると
E と F は一意的に決まるので直線 EF も一意に決まります。
これと直線 CD の交点が G だから G も一意に決まり,
最後に直線 GR も一意に決まるのでそれと対角線 BD の交点を S とすることで
S もしっかり一意に定まるというわけです。
このときの OS の長さが正方形の1辺の長さによらずいつも決まった値になるようですね akaname_20120809135852.gif

OP=OQ=OR=OS=a とおいて考えていきます~
このとき a>5 として良いんだろうと思います~
a=5 の場合は E と F が重なってしまって具合が悪いです。



さて,問題を解く方針というのがいくつか考えられそうな問題です。

なんだかメネラウスの定理が使えそうな図形になっているので
まずはメネラウスを何回か使ってみるという方法で挑戦です~ isona.gif

△OAB と直線 PQ,および △OBC と直線 QR に対してそれぞれメネラウスを適用してみると
BE, BF の長さが a を用いて表すことが出来るようになります~

o2_20140220231440658.jpg
o3_2014022023144143e.jpg


tan∠BFE の値は a の値によらないようですね。
これを使って CG を a の式で表して最後に △OCD と直線 RS に対してメネラウスを使ってみます~ nakioni.gif



o4_20140220231441456.jpg




結構すごい値が出てきましたね~ ny_ozouni.gif
でも確かに a の値に依存しない数値になりました~



四角形 ABCD が正方形だという都合の良さから,
座標を使って求めてみようという作戦も有効だと思います~
愚直ではありますが,あれこれ上手い作戦を考えてる暇があるなら手を動かそうというのも十分合理的ですね~


o5_20140220231442534.jpg


o6_20140220231443572.jpg





最後にもう1つ,デザルグの定理を使った解法を考えてみます~ onigiri_1.gif

図形の計算問題にはあまり応用しづらい感はある定理なんですが
今回は利用することが出来ます~

定理の主張といえばコレですね


o7_20140220231600d83.jpg
dezarug1.jpg



平面幾何と思わず空間幾何的な図だと思ってみると,
AA´, BB´, CC´ の交点を O として
O を頂点, △A´B´C´ を底面とする三角すいがあり,平面 ABC で切断しているような感じにみえます。
直線 PQR はちょうど平面 ABC, A´B´C´ の交線になっているとみなせますね win_night.gif
 




果たして辺 AC と辺 A´C´ が平行だった場合はどうなるんでしょうか~
平行だから交わらないわけですね。

実はこの場合も特別な形として定理が成り立ちます~
そもそもデザルグの定理というのは射影幾何学における定理とみなすことによって
より本質を見い出せるものだったりします~

射影幾何学の発想では「平行線は無限遠点において交わる」ので,
2直線 AC, A´C´ の交点 R は無限遠点と捉えます。
直線 PQ は無限遠点を通るのでちゃんと3点 P, Q, R は一直線上にあるといえるわけです。
また,特にこの場合は3直線 AC, A´C´, PQ は平行になります tanuki.gif




dezarug2.jpg




この後者タイプの特別な形が今回利用できます~
ではどの三角形とどの三角形に着目すればよいのでしょう~



o8_20140220231602383.jpg


△BEQ と △CGR に着目しましょう~ inu.gif
図の緑色のやつですねーー

直線 BC, EG, QR は1点 F で交わっています~
デザルグの定理より, 2直線 EQ,GR の交点 T と2直線 BQ, CR の交点 O を
通る直線 TO は BE, CG と平行になっています~

この事実を利用して OS の長さを求めてみましょー eto_inu.gif



o9_20140220231603fda.jpg
o10_20140220231604dc9.jpg




                  k17.jpg






              
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ジャンル:学校・教育

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