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2012年東北大入試(後期)理系数学第6問その2

2012.09.06 00:11|大学入試問題
どもども。

前回の続きをやっていきまーすw05.gif

問題はこちら箱ドットおにおんmini

m6

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-17.html



今回は(2)からやっていきまーすrabi_love.gif
k/nという値が問題文中に見えますが,これはもう区分求積法を使いますよsakura.gifって言ってるようなものです

さて,区分求積法とはなんだったか。
定積分を使って求める面積を,棒グラフみたいに長方形を並べた図形の面積で近似して,
精度を上げていったら求めたい元の面積に一致しちゃいますよ~っていう話でしたramen(1).gif

y=f(x)を0≦x≦1で連続な関数としますね。
y=f(x)のグラフとx軸と直線x=0,x=1とで囲まれる領域の面積について考えます
下の図のように元の面積より大きくなるような近似(左)と,小さくなるような近似(右)を
考えることが出来ます。0≦x≦1の範囲をn等分して幅1/nの長方形を並べています。

nをどんどん大きくすればするほど,この長方形たちの面積の合併は求めたい領域の形に近付いていきますね。
極限をとると定積分と一致してしまうのですが(ちなみに今考えてるような連続関数については一致しますが,
もっと複雑な関数を考えると必ずしも積分出来ないこともあるんですよ~),
それを式で表したのが下の式です~
左の図に対応するのが上の式,右の図に対応するのが下の式です~

m17.jpg

今回の問題ではこの2つの式を利用します
(2)はどういう問題かというと,まず内接円の面積の和のn倍が3π/4I_nで上から抑えられることを示さなければなりません。

(1)で求めた半径rはkに依存して変わるので,r_kと書いておくことにします。
Σ_{k=0}^{n-1} はk=0からk=n-1までの和を表しているとします。
S_nはΣ_{k=0}^{n-1} π(r_k)^2という形で書けますが,これは(3π/4)I_nと何となく形状が似ています。
Σ_{k=0}^{n-1} π×(何か) みたいな形をしてますね,どっちも。

そこで, r_k< となる  をうまく見つけて

nS_n=nΣ_{k=0}^{n-1} π(r_k)^2<nΣ_{k=0}^{n-1} π()^2=(3π/4)I_n

が成り立つようにするという作戦を考えましょう~dog_right.gif

不等式評価という作業はなかなか難しいこともあるので,苦手な人も多いでしょう。
r_kより大きいものを何でもいいから見つければいいというわけではありませんで,
評価が粗いとうまくいきませんcar2_dump.gif

では,どのようにやると上手くいくのか。
ポイントはnは十分でっかあああああい整数だと思うことです。
最終的にn→∞の極限を考えるので,はじめからnは馬鹿でかい数なんだと想定するのがよいんです。
例えば, n=10000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000 くらいを想定してみましょうbody_stand.gif

r_kを大きくするには,r_kの分母を小さくすれば良いですね。
1/n+√{3+(k/n)^2}+√{3+((k+1)/n)^2} は3項の和ですが,
1/nはもはやほとんど0みたいなもんだと思って,いっそ0に置き換えてしまいましょう。
√{3+(k/n)^2}と√{3+((k+1)/n)^2}はほとんど近い値なので,小さい方の√{3+(k/n)^2}に揃えてしまいましょう。
これで上手くいきますdog02.gif

m13.jpg


m11.jpg

m12.jpg


問題文で与えられている証明すべき不等式は「≦」タイプのものですが「<」でも問題ありません。



右辺-左辺>0を示すでもOKです~

m16.jpg



強引に√{3+(k/n)^2}で括りだして評価するというのもOKです~

m15.jpg



(2)の設問はこれで終わりではなくて,lim I_n を求める作業もあります。
これは冒頭に述べた区分求積法で定積分に帰着させればOKです~
出てきた定積分はタンジェントを用いた置換積分でやっつける定番パターンですkuma_fly.gif

m18.jpg

m19.jpg




続いて(3)です~
lim nS_n を求める問題です。(2)の時点で,nS_n≦(3π/4)I_n であることが分かっているので,
≦nS_n≦(3π/4)I_n 
を満たすであって,しかも lim =lim (3π/4)I_n を満たすようなものを見つけて
おなじみのハサミウチの原理を使う!!という方針でやるんだろうってことが大体予想つきますなkinoko03(1).gif

そこで再び r_k の評価が必要になります。
今度は r_k を小さくしたいので,分母を大きくすればOKです。
今回もやっぱりnは十分にでっかああああい整数だと思えばよいです。

m22.jpg


m23.jpg

m21.jpg


次のようにやってもOKです~

m20.jpg


1/nの扱いがちょっと難しいですねneko(1).gif
1/nを√{3+((k+1)/n)^2}に置き換えてしまうのは評価としては粗いです。
nが十分でかいとき1/nはほとんど0ですが√{3+((k+1)/n)^2}は√3と2の間の値なので近くないんですね





             
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東北大 入試 数学 受験 区分求積法 積分 置換積分 極限 ハサミウチの原理

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