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2014年日本数学オリンピック予選 第10問

2014.02.23 00:00|数学
どもども。

今回は今年のJMO予選の第10問を考えてみます~


問題はこの辺などから~ 算数mini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html


55×55のマス目を一番左上のマス目は黒であるような市松模様に塗りたい
というシチュエーションです~

一度に塗れるのはいくつかのマス目から成る長方形領域に限られるという条件付きですねー。
塗り回数最小いくらで市松模様が完成するかという問題です~
どのように塗っていくのが効率が良いのかを考えていかなければならないですね aicon_bbs20.gif


2×2の小市松模様を基準に考えていくことにします~
55×55のマス目を市松模様にに塗ると,
この2×2小市松模様が全部で54×54個含まれてます。
目標をこの54×54個の2×2マス目がすべて小市松模様に塗られるようにする
という操作に置き換えてみましょう~ aicon_bbs15.gif



ここで,一度の塗り操作では2×2小市松模様は最大で4個増えるということに着目してみます~ aicon343.gif
長方形領域を塗ることによって左上,右上,左下,右下の4隅に1個ずつ小市松模様を増やせるのですね。


p1_20140221123543cce.jpg
p2_20140221123543e3d.jpg

p3_20140221123544eb1.jpg





完成している小市松模様の数が毎回の操作ごとに4個ずつ増え続けていけば
それは非常に理想的ですよね。最も効率が良いと言えます~ aicon156.gif

しかし,初期状態が全マスが白というものなので,
第1回目の塗り操作の時点でもう4個の小市松模様完成を達成できません~~
2回目の操作でも無理ですね~

そこで仮想的に1回目の操作から4個の小市松模様が完成したように見せるような
工夫
を取り入れてみたいと思います~ car2_ambulance.gif

 

元々ある55×55のマス目の外枠に黒と白のマス目を交互に並べて
下図のように57×57のマス目を考えてみます~

この状態からスタートして,中の55×55のマス目を(一番左上が黒の)市松模様に塗れば
57×57の市松模様も完成します。
1回の操作で4隅に4個ずつ2×2小市松模様を作りながら最終的に57×57の市松模様を完成させる
という方針で進めてみたいと思います~ rice_eating.gif



p4_20140221123545501.jpg

p5_20140221123546779.jpg



上から k 行目,左から ℓ 列目のマスを左上マスに持つような2×2マス目のことを
[k,ℓ] で表すことにします~

第1回目の塗り操作は元の55×55マス目を全部黒く塗りつぶします~~
新たに想定した57×57のマス目を含めて考えてみるとちょうど
4隅に2×2の小市松模様が4個完成されています。

2回目の操作では,[2,1],[2,56],[55,1],[55,56]が小市松模様になるように塗ります~ jitensya02.gif



p6_201402211236136d7.jpg


3回目は,[3,1],[3,56],[54,1],[54,56]が小市松模様になるように塗ります~
4回目は,[4,1],[4,56],[53,1],[53,56]が小市松模様になるように塗ります~
・・・ってな具合に順々に左右両端部分に小市松模様を増やしていきます~

それが終わると今度は上下両端部分に小市松模様を増やしていきます~ saboten.gif


p7_20140221123614448.jpg



これで57×57マス目の外側2マス分はどの側も市松模様が完成されたので
あとは内側の53×53マス目を市松模様に仕上げればいいことになります~~ hamster_2.gif


あとは同じ調子でまた外側をどんどん順に市松模様に仕上げていって
51×51マス目を仕上げればよい段階にもっていき,
次は49×49マス目を仕上げればよい段階にもっていき,
以下これの繰り返しでどんどん内側に向かって攻めていきます~~

これでちょうど最後まで4個ずつ小市松を作りながら57×57の
大市松模様を完成させることが出来るというわけです~ drink_hottea.gif


p8_201402211236145d0.jpg
p9_20140221123616d71.jpg








               k19_2014022112354287c.jpg










        
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

コメント

数学教諭だった方ですか?

論理展開が分かりやすくて丁寧だなという印象を受けました!

これからも更新お願いします!!!!!

No title

>情報系love高2女子さん

コメントありがとうございます~
数学教諭ではないですが,
数学を教える機会はちょくちょくある感じの人です~

気まぐれゆるゆる更新ですが宜しくお願いします~♪

No title

いつも、楽しみにこのブログを拝見させていただいてます。
ところで、質問なんですが…
こんなにすごい解答をどうやって思いついてるんですか??
分かりやすくて、正確で、丁寧でいつも感動しております!!
またの更新楽しみに待ってます!!

No title

>とある数学好きさん

コメントありがとうございます~
丁寧さは一応ちょっとだけ気を遣ってはいるんですが
正確さについて言えば,たまにケアレスミスしてますv-12
もうちょいしたらまた更新ペース上げますので生ぬるい目で見てやってくださいませ~

どうやって思いついてるかというなら,
思いつくまで考えるのをやめないからかもしれないです~
残念なことに自分はまだまだ凡人なので
がんがん着想が得られるタイプではなく,気長にあーでもないこーでもないって
悩んでるうちにたまにうまくいくんですよねv-14

No title

お返事ありがとうございます!!
たまーにうまくいくのもすごいですよ!!
こんなすばらしい解答の数々、僕には一生かけても思いつく気がしません…
まあ、僕も気長に頑張っていきたいです…
更新楽しみに待ってます🎵

No title

>とある数学好きさん

コメントありがとうございます~
一生かけても思いつく気がしませんとか言っておきながら
意外と思いついちゃったりしますよ~
日頃から見聞を広めておけば「あ,これはあのときのアレに似ている!」という
ひらめきが起こりやすくなります~
たまーにひらめくときも大抵は何か記憶に眠る何かがヒントになっています~
非公開コメント

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