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2014年日本数学オリンピック予選 第11問

2014.02.24 00:00|数学
どもども。


今回は今年のJMO予選第11問を考えてみます~

問題はこの辺とかから~ わんちゃんmini
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo24yq.html


またまた場合の数の問題です~
そして前問に続いてマス目の問題ですね~

前問はマス目を白と黒に塗るという話でしたが
今度のは1~6の数字のどれかを書き入れるという話のようです~

6×6マス目があって,各マスに1~6の数字のどれかを1個ずつ書いていきます~
上から i 列目,左から j 列目のマス目に書く数字を i◇j とおいたとき,
(i◇j)◇(k◇ℓ)=i◇ℓ という関係式が常に成り立っているようにしなければいけないという
拘束条件があります~~ senpuki04.gif

コレはなかなか手強そうですね~~




こういう問題はとりあえず手を動かして実験しながら解決の手掛かりを探していくというのが
基本かなーと思います。
条件をみたすように6×6マス目に数字を埋めてみようと思っても
何も考えずに埋めていこうとすると意外と上手くいかなかったりします。

例えば,具体例としては下の2つなんかがありますよ~ katorisenko02.gif




q1_201402211748444a1.jpg



見て取れることとしては数字の配列が一致している行や列が複数見られるということですかねー。



さて,ここで試しに i◇j=a, j◇i=b とおいてみたとき,
i, j, a, b の間にどんな関係性があるのかを考察してみます~

実は i, j, a, b の4つを組み合わせて出来る ■◇■ 型の値は
全て確定してしまい,しかもそれらの値も全て i, j, a, b の4つのどれかになってしまいます sakura.gif


q2_20140221174845e83.jpg
q3_20140221174846df9.jpg


i◇j=a, j◇i=b である相異なる4数が1組あるだけで,
対角成分も合わせて18個ものマス目がもう埋まってしまうんですね。 

さて,上の関係性から,まず次の性質が分かります kasabake.gif


q4_2014022117484601b.jpg





また,次の性質もおさえておきますね~ xmas_santa.gif



q5_20140221174847259.jpg


(*)が成り立つ (i,j,k,ℓ) が何組あるのかでパターン分類をしてみたいと思います~
(k,ℓ,i,j) や (j,i,ℓ,k) などは (i,j,k,ℓ) と一緒だとみなします。
(i,j,ℓ,k) なんかは別物とみなしますよ~


(*)が成り立つ (i,j,k,ℓ) が N 個あるとします。
まずは N=0 の場合を見てみましょう~
すべての (i,j) に対して (i,j)~(i,j) または (i,j)~(j,i)
のどちらかが成り立っている
という状況です sosu.gif

1◇2 と 2◇1 に着目してみます。
仮定から, 「1◇2=1 かつ 2◇1=2」 または 「1◇2=2 かつ 2◇1=1」
でなければいけません。前者タイプの場合から調べてみます~

このときは i◇j=i でなければならないという必要条件が得られます。
そしてこれは同時に十分条件にもなっていることを確かめることが出来ます~

ということで1パターンに限定されてしまうんですね~ kawauso.gif



q6_201402211748477ef.jpg



一方で「1◇2=2 かつ 2◇1=1」の場合はというと,
今度はさっきのやつが縦横逆になったようなものに限定されます~ isona.gif



q7_20140221174916290.jpg
q8_20140221174917ad0.jpg






次は N=1 の場合を調べてみます~
1~6 の数字はどれも対等なので,とりあえず (1,2)~(3,4) としておきましょう。
この時点で18個のマス目に数字が入ってしまうので,
残りのマス目にどんな数字を入れるのかを考えるのが次の課題です。
このとき,その他の相異なる4数の組合せについては (i,j)~(k,ℓ) が
成り立たないようにしなければいけません。

残っているのはすべて 5◇■, ■◇5, 6◇■, ■◇6 という形のもので,
たとえば 1◇5 と 5◇1 に着目すると,
「1◇5=1 かつ 5◇1=5」 または 「1◇5=5 かつ 5◇1=1」
のどちらかでなければいけません kashiwamochi03.gif

結果的には,どちらであっても不合理な条件が出てきてしまう
という事態になってしまいます。

つまり N=1 であるようなパターンは存在しないのです~ zashiki.gif



q9_201402211749187e3.jpg




次は N≧2 の場合を考えてみましょう~~

再び (1,2)~(3,4) としておきます~
このほかにも相異なる4数で (i,j)~(k,ℓ) を満たすものが出てくるようにします。

たとえば (5,a)~(b,c) という関係が成り立つとします。
このとき b◇c=5, c◇b=a が成り立つので,
b と c が共に1~4のいずれかであってはいけません(b◇c=5 にならなくなるので)。
b と c のどちらかは5か6なわけですが,5であってはいけません。

そんなわけで (5,a)~(6,b) または (5,a)~(b,6) の形でなければいけません。
この形のものを考察することによって (6,b)~(5,a) または (b,6)~(a,5)
の形のものを改めて考察する必要はなくなります。

(5,a)~(6,b) の形を含むのから考えていくと,
これはちょうど2通り出てきます aomushi02.gif



q10_2014022117491894f.jpg


必要条件に沿ってマス目を埋めましたが本当にこの埋め方では
不合理は起きないのか。つまり問題の条件を満たしているのかを確認する必要があります。

その確認作業を比較的スムーズにするために補題を導入します~ rabi_shy.gif



q11_20140221174919dff.jpg
q12_20140221174920769.jpg



この結果を利用すれば確かに(A)(B)どちらも不合理な点は起きないことがさくっと確認できます。

また,よく見てみると(A)(B)どちらも N=3 になっていることに注意しましょう~ dog_shy.gif

(A)の場合, (5,2)~(6,4), (5,3)~(6,1) が成り立っていて
(B)の場合, (5,1)~(6,3), (5,4)~(6,2) が成り立っています。
全部 (5,a)~(6,b) の形ですね。



q13_20140221174942e04.jpg




一方で, (5,a)~(b,6) の形を含むものもやはり2通り出てきます。
考察の方法はさっきと同様です~

やはり出てくる2つのパターンは共に N=3 の場合になっています eto_ushi.gif




q14_201402211749436d1.jpg

   q15_201402211749448ae.jpg


(1,2)~(3,4) となっているものが4通りあることが分かったので
その他の組合せに関しても4通りずつあります。

ただし,重複カウントには気をつけなくてはいけません。
全ての (i,j)~(k,ℓ) につき4通りずつカウントしていくと
同じマスの埋め方パターンが3回ずつ数えられます densya.gif



q16_20140221174944871.jpg
q17.jpg


















           
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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