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2014年東京大学前期入試 理系数学 第1問

2014.03.02 18:39|大学入試問題
どもども。


今回は2014年の東大前期入試の理系数学第1問を考えてみます~

問題はこちらから~ 箱ドットおにおん2mini
14t1.jpg


東大入試ではお馴染みの空間図形の問題です~~ saboten.gif


底面が1辺1の正方形である四角柱を平面で切断するというお話のようですよ~




r1_20140302145438e32.jpg

∠POA=α, ∠ROC=β になるように3点 O,P,R を通る平面で四角柱を切断しています。
切り口の図形は平行四辺形 OPQR です

与えられた図からも切り口が平行四辺形になるということがすぐピンときます。
ただ,あまりにもすぐピンときてしまうので始めからそのことを前提に答案が書かれてしまう可能性があります。
問題文ではあくまで4点 O,P,Q,R が同一平面上にあるようにするとしか書いていませんので
その条件を満たすようにすると四角形 OPQR は平行四辺形になりますよーー 
ということは自分で見い出す必要があります~
中学校の数学としてはこれは自明な結果ではないですが,高校生なら,しかも東大受けるような子たちなら
敢えてこのことを改めて理由を付けて説明しなくても許されるかも,という気もしますが
やはり丁寧な答案を作りたいならしっかり触れておくのが良いかと思います~

理由まで詳しく,ではないにしても「四角形 OPQR は平行四辺形である」の記述は
どこかしらに欲しいところだとは思います~ tentou03.gif

一見当たり前ぽいことなのに,改めて理由を聞かれると意外と説明に困ってしまったりする
ことが時々あると思いますが,四角形 OPQR が平行四辺形であることはしっかり説明できますか?
もし説明の仕方について悩んでしまったとしたら,それだけ「実は自明じゃなかった」
ということになりますね。

四角形が平行四辺形になるための条件がいくつかあったことを中学校の数学でやっています。
ここではその中の1つ,「2組の対辺がそれぞれ平行」という条件を使ってみたいと思います~ teng.gif

例えば PQ と OR が平行であることを述べるためには
この2直線が同一平面上にあり,かつ交点を持たないことを述べればよいです。
PQ と OR はそれぞれ平行な2平面 ABFE,OCGD 上にあるので交点を持たないのです~



r5_201403021454407d1.jpg



さて,この平行四辺形 OPQR の面積を求めるのが(1)の設問です。
いくつか方法が考えられます。

対角線で2つの合同な三角形に分けて,一方の面積を求めて2倍
というのが考えやすいかなーと思うのですが,
三角形の面積公式も色々あるので,どれを使おうかと迷いますね。

△OPQ または △OPR に着目したとすると
どちらも2辺の長さは即座に分かりますが,残りの1辺は
対角線 OQ または PR の長さはちょっと計算しなきゃいけないのでそこが面倒です。
そのあと2辺の間の角の sin や cos を計算しなければいけません。
まぁ面倒というほどの計算量ではないのですが,辺の長さが簡単な数字じゃなくて
三角比が混じった形で出てるので,記述することに対する面倒臭さというのがあります xmas_tonakai.gif




r2_20140302145439889.jpg



r8_20140302145513227.jpg
r9_201403021455136d2.jpg
         r10_20140302145514bac.jpg

r11_201403021455141c5.jpg


余弦定理とか使ってるあたりの計算に怠さを感じますが,
もともと正四角柱が与えられていたことに着目すると
もう少し楽に面積 S を出すやり方を見付けることが出来ます。
それは座標の導入です~~ eto_tatsu.gif

座標を設定して問題を解くという発想は
図形の性質に疎くても事務作業のように割となんでも処理できてしまうため
愚直とはいえなかなか心強い武器なのですが,
最初の下準備である設定の段階がとても面倒であることが多いです。
ただ,直方体のような直角が多い立体があると座標は入れやすいですよね okojyo02.gif



r6_20140302145441b07.jpg



なお,ベクトルの外積について知っているともっと早く答えの数値が出てきます。
 がちょうど  と  が張る平行四辺形の面積になっています~ hiyoko.gif


r7_20140302145442d51.jpg




もう1つだけ別の方針で答えを出してみます。
正射影を利用してみるという発想です~

下の図のような斜面上の図形の面積を出す際に,
えーーーい斜めじゃ計算しづらいから水平面に落としてきちゃえ
と言ってちょうど真下にストンと影を落としてくるというのが正射影の発想だったかと思います。

当然,落としてきた影の図形は元の図形と合同ではないので面積も通常変わってしまいます。
じゃあどれだけ変わるのかというと,斜面と水平面のなす角 θ を使って
cosθ 倍になっている
ということが言えます~ kaeru_yodare1.gif



r12_20140302145515085.jpg



今回の図形に関しても,平行四辺形 OPQR が斜面上にあるので煩わしいということで
水平面にストンと影を落としてみます。
そうするとその影ってちょうど底面の正方形 OABC に重なってしまうんですね。
底面の正方形の面積は 1×1=1 なので,
平面 OPQR と底面 OABC のなす角を θ とすると,
 が成り立つので,  になります~ rabi_love.gif

そんなわけで cosθ の値が知りたいので,下図のように平面 OPQR, OABC の交線 OT を考えてみます~



r3_20140302145439cac.jpg



∠QTB=β ですが, θ≠β なので勘違いしないようにしましょう~
B から直線 OT へ垂線 BU を下したとき, ∠QUB=θ です~

r14_20140302145549adc.jpg


r15_201403021455501d5.jpg

r16_20140302145550614.jpg



cosθ を求めるのが意外に大変でしたね~~
でも実は座標を導入していると,もっと簡単に cosθ が求められたりするんですよ♪
θ というのは平面 OPQR と平面 OABC のなす角ですが,
これは同時に,この2平面の法線ベクトルのなす鋭角として現れます。
平面 OABC の法線ベクトルとして (0,0,1) が取れますね。
平面 OPQR の法線ベクトルとしては少し上で求めた外積  を取ることが出来ます。このとき,

が成り立ちます~





さて,次は(2)を考えてみましょう~~
 と  という条件から,
tanα+tanβ の値と, α≦β のときの tanα の値を求める設問です~

 から  が出てくるので, α と β に関する
連立方程式を解くという問題です dog_love.gif

どちらの式も α と β に関する対称式になっているというところに注目できて欲しいです~ katudon.gif

 

で, tanα+tanβ と  tanαtanβ に関する関係式が1つ得られ,

また tan(α+β)=1 の左辺に加法定理を適用して整理することで
 という関係式が得られるので,これで2本目が得られます。


tanαtanβ を消去して tanα+tanβ に関する2次方程式に帰着させちゃいましょう~ aicon438.gif
これで tanα+tanβ の値が求められます~
tanα+tanβ が分かれば tanαtanβ の方も分かるので, tanα, tanβ を2解とする
2次方程式を作ることが出来ます~~


r17_20140302145551d39.jpg
 


対称式の性質を上手く使って答えをだすことが出来ましたが,
連立方程式を解く手法としては,1つの文字を消去するというものも定番ですよね。
そこで,はじめから α または β の一方を消去してみるという作戦で攻めることも
できるはずです。最初の解法とは逆で tanα と tanβ の値を先に求めてから
tanα+tanβ の値を求めるという流れになりますね m_0243.gif
ここでは β を消去してみます~

いざやってみると,この方法だと tanα の4次方程式が出てきたりするので因数分解が大変です~


r18_20140302145552d68.jpg

 は因数定理を使う上で,方程式に代入してみる候補として
序盤に挙がるものなので,まぁギリギリ何とか因数分解も出来そうではありますが
なかなかしんどそうではあります~
解法の選択としてはこれはあまりオススメではなさそうですね 8164018.gif


r19_20140302145553ffd.jpg







では第1問はこんなトコでおしまいにします~ kaeru12.gif






          
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テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

タグ:東大 入試 数学 受験 空間図形 ベクトル 三角関数

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