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2014年東京大学前期入試 理系数学 第2問

2014.03.06 21:57|大学入試問題
どもども。



今回は今年の東大前期入試の理系数学第2問を考えてみましょーー

問題はこちら~
14t2.jpg




確率の問題です~~

袋の中に白球と赤球が入っていて無作為に1個取り出すという
もはや出題のパターンもやり尽くされてるんじゃないのかってくらい
定番のシチュエーションですね~ aicon349.gif


さて今回はどんなルールで球を取り出すのでしょうか~

元々,袋 U には白球が a+2 個,赤球が 1 個入ってたようです。
この中から1個の球を取り出して,
それが白球なら袋の中身を強制的に白球 a 個,赤球 1 個に入れ替える,
赤球なら取り出した赤球を元に戻さず袋の中はそのまんまにする,

ということらしいです~ m_0234.gif

このルールに従って,球を袋の中から取り出す操作を何回か繰り返すそうで
n 回目の操作で取り出した球が赤球である確率を  とおくようですね。
よくある確率漸化式を解いていく流れになりそうです~ senpuki04.gif



      a2_201403061925207ab.jpg
a3_2014030619252188e.jpg


 
(1)は  を求める問題です~
 は多分問題無いと思うんですよ。  はどうでしょうか~

2回目に赤を取り出すパターンとしては,
「白→赤」 または 「赤→赤」 の2パターンがありそうですよね。
1回目に白を取り出すと袋の中身は強制的に白球 a 個,赤球 1 個に入れ替わるので
「白→赤」 のパターンは確かに起こりそうです。
ところが,一方で1回目に赤を取り出すと袋の中身は白球のみになってしまうので
2回目に取り出す球は自動的に白
になってしまいます~ eto_inu.gif
したがって, 「赤→赤」 は起こらないんです。

これがこの後の問題,つまり回数が n になったとき,を解く上でポイントになってくる部分ですね。
「赤球を連続して取り出すことはない」
つまり「赤球を取り出すにはその1つ前の回では白球を取り出さねばならない」

ということをおさえておきましょう~ kaeru_en1.gif


a4_201403061925214a4.jpg





 が求まったので,(2)では n≧3 のときについて  を求めます~


 方針1: に関する2項間漸化式を立てる

ここで   に関する確率漸化式を立てていきますよ~
n+1 回目に赤球を取り出す確率  を  の式で表してみます~ kitune.gif

さっき挙げた注意により, n+1 回目に赤球を取り出すためには
その1個前の n 回目では白球を取り出さなければいけません。
したがって, 「 n+1 回目が赤 ⇔ n 回目が白 かつ n+1 回目が赤」
ということになります。
n 回目に赤を取り出す確率が  だったので,
n 回目に白を取り出す確率は  であることにも注意です~ kawauso.gif



a5_20140306192522d8f.jpg
a6_201403061925233b3.jpg

なお,この表示式は n≧3 に限らず n=1,2 の場合でも成り立ちます。



 方針2:最後から2番目に赤球を取り出したのいつかに着目する


n+1 回目に赤を取り出す確率  を別の方法で求めてみましょう~ 

n≧3 と仮定しますね~
n+1 回目が赤ということは n 回目は白である,というのは既に述べたとおりです。
では 1 回目から n-1 回目までの間で最後に赤球を出したのは何回目なのかという点に着目してみます。
最後に赤を出したのが k 回目であるとすると, (k+1) 回目以降は n+1 回目までの
球の取り出され方が 白白白・・・・白白赤 のようになっています。
1≦k≦n-2 のときはこの確率が  と書けます~ kudan.gif
「×1」 は k+1 回目が確率1で白球になることを意味していますよ~
k=n-1 のときは n 回目が白, n+1 回目が赤なので確率が  になります~ kuma_fly.gif
上式で k=n-1 としたものと一致しています。

また, 1 回目~ n 回目まで全部白で n+1 回目が赤という確率は  
になります~

これらの確率を全部足したものが   になります~ risu.gif




a7 1
a11_20140306192606b45.jpg




ここで n=1,2 のときも  式は正しいことを確認しておきます~



a8_20140306192607076.jpg
a9_201403061926074b5.jpg
a10_201403061926081d5.jpg



 式において n+1 を n+2 に置き換えたものを同様に考えて
その式を変形して  に関する3項間漸化式を作って解いてみます~ s1_spr_chulip.gif

 型の漸化式が得られますが,このタイプは
 の形に変形できるので
特性方程式を解く手間が省けたりします。




a12_2014030619260863d.jpg
a13_201403061926256cf.jpg


ここでは階差数列を利用したので  の一般項がまず n≧2 の場合で出てくるので
n=1 の場合に同じ式で表せるかどうかは最後に吟味する必要がありますが,
(2)の設問は n≧3 における表示式を求めるものなので,
n=1,2 の場合にも成立するかどうかについて考える義務は実はありません rokuro.gif







さて,最後の(3)は相加平均  の m に関する極限を求めるものです。

これはもはやただの計算で,厄介な不定形が出てくるとかそういうことも特にありません。
サクッと片付けてしまいましょう~ s2_sum_hotaru.gif



a14_20140306192626c7b.jpg




大学数学のはじめにεδ論法の練習問題として挙がる定番の命題で次のようなものがあります~ tanuki.gif

数列  について,  ならば 
が成り立つ kaeru0-01.gif


今の問題はちょうど  の場合に当たりますね。
 であることはすぐ分かるので,簡単に答えが出せますね~ hamu01.gif

まぁこの結果を利用して答案を書くというのはちょっと問題ありですが,
検算目的でなら使えるので知っておいて損はないかもしれません。










           a1_20140306192519b18.jpg




    
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