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2014年東京大学前期入試 理系数学 第3問

2014.03.13 16:24|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期東大入試の理系数学の第3問を考えてみます~

問題はこちら~
14t3.jpg




2次関数から始まって最終的に無理関数の積分をするような問題です~
(1)(2)くらいまでは特に難しくもない普通の計算問題で
(3)がちょっと面倒臭い積分計算になっています~


(1)は,2つの放物線 b14_20140313032553122.jpg が共有点を持つための
実数 u の条件 a≦u≦b について,上限 a と下限 b を求めるものですよ~ hiyoko.gif



b1_20140313031600cab.jpg


2つの放物線が接するときが2回あって,そのときの u の値がそれぞれ a と b になっています~
実際に a と b を求めて a≦u≦b としたのでは, a と b の間の値における議論が
自明のものとしてすっ飛んでるのであまり宜しくはないです。
通常は,判別式を用いた議論やそれと同等な議論で対処します~ okojyo02.gif


b15_20140313124017fa2.jpg と b16_20140313124017710.jpg の交点の x 座標は2次方程式
 …() の実数解で与えられるので,しっかり実数解を持つように
)の判別式 D について D≧0 という条件式を立てると良いです~ 15927445.gif
 


b2_201403130316000f0.jpg


判別式を用いる代わりに,2次関数  の最小値が0以下である
という点に着目して条件式を立てても良いです 8257410.gif



(2)は,b15_20140313124017fa2.jpg と b16_20140313124017710.jpg の交点を  とおいたとき
 の値を u の式で表す設問です~
x_1 と x_2 は () の解なので u の式で書けますね。
一方で, y_1 と y_2 は b15_20140313124017fa2.jpg の方程式を用いて
 と表せるので,これらもやはり u の式で書けてしまいます~

したがって, x_1,x_2,y_1,y_2 をそれぞれ対応する u の式に置き換えて
整理すれば一応答えには到達できます~
しかし, x_1,x_2,y_1,y_2 は u の無理式になっているので
直ちに u の式に置き換えるというのでは,なんだか式変形が怠いものになってしまいますね~

そこで, y_1 と y_2 は x_1,x_2 で表したものに置き換えて,
はじめは x_1, x_2  の2つを使った式で表してみましょう~

 は x_1, x_2  の対称式になっているので
解と係数の関係から得られる x_1+x_2, x_1x_2 の値や
x_1-x_2 の値などをあらかじめ計算しておいて,これらを活用すると
泥臭い計算を回避できるようになります~ 15927440.gif


b3_201403130316011cc.jpg
b4_20140313031602ccc.jpg



|x_1-x_2| は解と係数の関係から得られる x_1+x_2, x_1x_2 の値を利用して
以下のように計算する事も出来ます。この変形しばしば利用されますよね~

でも上で挙げた方法のように,直に差をとったほうが早いことも多いです~ 15927446.gif


b5_20140313031602681.jpg




(3)はいま求めた u の式を u=a から u=b まで積分するという問題です。
無理関数の積分ということになりますね。

この積分が何を表しているのかというはなんだかよく分からないんですが
(断面積を積分して体積を計算してるという見方も何となく微妙),
置換積分を上手く利用して計算することができます~

この積分計算では根号の中がよくわからない2次式になっていることがやや厄介です。
この2次式をちょっと平方完成してみると,
 のようになります。
3(1-A^2) の形になっていることに着眼してみるのがポイントです~ m_0074.gif

ここで取るべきベタな手段というのは  のような変換を試みることです~
この操作によって 
となり,根号を外すことが出来ます~ carrot02.gif

この方法により根号を外せたことによって,三角関数の積分に帰着されたので
あとは倍角の公式半角の公式などを活用しながら次数下げを試みて
積分しやすい形に変形した上で計算をしていきます~~

このとき,偶関数・奇関数の積分の性質を利用すると更に計算を簡約化出来ます~ korobo.gif




b6_20140313031603235.jpg
b7_201403130316313e7.jpg

b8_201403131533558b4.jpg







同じ変換を利用しますが序盤の変形方針が若干違うものを挙げてみます~
根号の中身が -u^2-2u+2 で,根号の外が u^2+u+1 で
異なる2つの2次式があるのは計算する上で不自由なので,次のように変形してみます robo.gif





そして積分を


としてみましょう~
第1項の積分は最初の解法と同様に三角関数の積分に直します~ tankoro.gif




b9_20140313031632cfa.jpg
b10_20140313031632148.jpg
b11_20140313031633bbe.jpg



第2項の積分は


の形の変形を利用できます~ hunayurei.gif

 であることに注意です~

b12_20140313031634928.jpg








            b13_20140313031644bcf.jpg






   
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