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2014年東京大学前期入試 理系数学 第4問 その1

2014.03.16 02:07|大学入試問題
どもども。



今回は今年の東大前期入試の理系数学第4問を考えてみます~

問題はこちら~
14t4.jpg




なんだかよく分からない形の関数について考察する問題です~~

という関数が与えられています~
文字定数については 0<p<1 および q>0 という条件が付いています~
p<q のときと p>q のときとで何が変わるかということを調べたいというのが
1つのテーマになっている問題のようですね

必要ならば任意の実数 x に対して  が成り立つことを利用して良いそうです~
この不等式の左辺は  の1次近似ですね。
「必要なら使っていいよ」の類は大抵,必要だから挙げてあるものです。
今回は(1)~(3)の中のどこでそれを使うのかが問題を見てすぐには分からなさそうなので
これの使い所をいかに見出すかがポイントの1つになりそうです~ aicon430.gif
(実は使わなくても解けたりします)

一応,このヒント不等式の証明も挙げておきますねー

d14_2014032120254052f.jpg




さて,(1)~(3)はどれも複数の解法で解けるのですが
(1)は特にどれが一番「スタンダードな解法」になるのかが分かりにくい問題だと思います aicon433.gif
一番ベタであろう解法とちょっとマイナーな解法の識別がしやすい問題は
割と方針が立てやすいものですが,今回の(1)なんかはどの作戦で攻めようか
少し悩んでしまった人も多いかもしれませんね。


その(1)は 0<x<1 ならば 0<f(x)<1 であることを確かめる問題です。
上からの評価と下からの評価を別々に考えるほうが取り組みやすいと思います~ m_0249.gif

方針として大きく迷うのは,単純な不等式評価の組み合わせだけでケリがつくのか
微分して増減を調べていかないと上手くいかないのかという点なのですが,
今回は運がいいことに微分して増減を調べるような面倒な作業をしなくても証明ができます~



 方針1: と  をそれぞれ上と下から評価してみる

f(x) の表示の仕方というか整理の仕方はいくつかあるかと思うんですがが
問題文で与えられた形を上手く活かす方法をまず考えてみます~
敢えてあの形の表示式を与えた意図があるはずだと勘繰るわけですね。

0<1-p<1 であることに着目すると 0<x<1 のとき
 が成り立ちますね~
一方で q>0 であるから, 0<x<1 のときは
0<1-e^{-qx}<1 および 0<1-x<1 が成り立つことより
 を得ることが出来ます~

これらを辺々足すだけで求めたい不等式が得られます~~ m_0188.gif



c1_20140316005314162.jpg
c2_201403160053143ad.jpg



 方針2:  と  の大小で場合分けてみる

f(x) の表示式をみると, 「x」 と 「1-x」 という足して1になる2つの多項式が
目につきます。係数さえ揃っていればうまく足して1になる性質が使えるのになぁ~
とか思うわけですね bakeneko_20120809140145.gif

そこで係数の  と  のどちらかが大きいかに着目して場合分けをして
うまく足して1になる性質を利用してやろうと思います~ aicon_80.gif


c11_201403160053476f1.jpg

c12_20140316005348f7a.jpg





 方針3:  の形から考察してみる

次は f(x) の表示の仕方を少し変えてみます~
f(x)=1-g(x) (g(x)≧0) 型の式に整理して g(x) の部分を評価してやります~ rabi_nomal.gif



c3_2014031600531542f.jpg
c4_201403160053156b4.jpg




 方針4: f(x) を微分して増減を調べてみる

上で挙げてきた解法のように,単純な不等式評価だけで本当は片付くんですが,
それに気付かないと微分して攻めるという方針になってしまうかと思います~

ところが厄介なことに,導関数があまり扱いやすい形をしていないために
第2導関数まで考察してみないといけなくなってしまいます~
面倒くさいですねー win_snowman.gif



c5_201403160053162c5.jpg


0≦x≦1 においては第2導関数について  が成り立ちます~
このことから  は単調減少であること,すなわち f(x) は上に凸であることが分かります xmas_tonakai.gif

0<x<1 において  が成り立つので,
 であることに注意すると
0<x<1 において f(x) が極値を持つかどうかは  の符号に
よって変わってきます。またまた面倒ですが場合分けが必要です~ dog_nomal.gif





d23_20140322212357304.jpg

c7_20140316005345588.jpg


c8_20140316005345625.jpg

c9_20140316005346cbf.jpg







 方針5: 数直線上の線分の内分点を考えてみる

足して1になる 「x」 と 「1-x」 を見ると思い出すのが線分を (1-x):x に内分する点の計算ですね。
f(x) は数直線上の2点  と  を結ぶ線分を (1-x):x に内分する点の座標を
表している
ことに着目することが出来ます~ kuma_fly.gif



c10_2014031600534615e.jpg










(1)だけで随分長くなってしまったので,
(2)以降は次回にします~~ 8257321.gif








                 
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