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2014年東京大学前期入試 理系数学 第4問 その2

2014.03.22 00:07|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きです~~




なんだかよく分からない関数に関する考察の問題でしたね~
前回は(1)についてやったので,今回は(2)からやっていきます~ kinoko05.gif


0<x_0<1 を満たす定数 x_0 をとって,数列 {x_n} を
 によって定義するようです~

p>q のときは  が成り立つぞ~ kirakira(1).gif
ってことを確かめるのが(2)の設問です。


何が起きてるかというと, 0<x<1 において
y=f(x) のグラフが直線 y=x よりも下側にあるので
下図のように x_n がどんどん0に近付いていくという状況なんですね kitune.gif



d8_201403212025082fa.jpg


3つくらいアプローチの方法を挙げてみようと思うのですが,
全てに共通する下準備として,任意の非負整数 n に対して 0<x_n<1 であることを
確かめておきましょう~ nakioni.gif
数学的帰納法を用います~

d1_201403212024310c4.jpg



それでは具体的にどうやって x_n の極限を求めていくかを考えていきます~


 方針1:  を  に置き換えて  を求める

問題文の方で 「任意の実数 x に対して  が成り立つ」 ことを
利用していいですよ~ というヒントがあります~
これの使い所がなかなか難しかったかと思いますが,ついに出番です~

 を使って f(x) を上から評価できます。
これを使って, 0<x_n<(r^n)x_0 (0<r<1) の形の評価式を得たいと思います~

漸化式を解いて数列 {x_n} の一般項を明快な形で表示することが難しいため
上の評価式を用いて挟み撃ちの原理を使うというのが分かりやすい打開策です~

この評価式を得るにはまず  であることを導きます~
粗い評価  を得てしまうと,数列 {x_n} の単調減少性は導けるものの
0への収束性までは辿り着けません。
1未満の正数 r という係数が付いていることが重要なんですね~ kiraneko.gif
うまくそういう r を付けた形で評価式を得ないといけません~

d2_20140321202432e3e.jpg



 の部分は次のようにしても大丈夫です~ ny_kimono_f.gif



d3_20140321202432318.jpg




あとは結論に向けて一直線です~


d4_201403212024334c5.jpg


d5_20140321202434827.jpg




 方針2: 平均値の定理を利用して  を求める

さっきと同じ評価式を  のヒントを使わない方法で導きたいと思います~

(1)で既に  であることと
 が 0≦x≦1 において単調減少することは求めてあることにしましょう(前回求めてあります)。
求めていなかったら第2導関数<0から導いておいてください~

f(0)=0 に着目すると

と書けることが分かります~ takenoko01.gif
このとき,平均値の定理より  
を満たす c_n が各 n に対して取れます~ 
 の単調減少性より  
が成り立つので,目標の評価式が得られるというわけです~ neko05.gif




d24_201403222123584e0.jpg



ここ以降は方針1と同様です~





 方針3: 0<x<1 において f(x)<kx (0<k<1) が成り立つような定数 k を探してみる

0<k<1 を満たすある定数 k に対して,
0<x<1 において f(x)<kx が常に成り立つとしましょう~
そうすると,  が成り立つので方針1,2と同様に挟み撃ちで x_n の極限が導けます~ okojyo01.gif

さて,どのように k を見つけるのかということですが,
F(x)=f(x)-kx とおいて考えます~
0≦x≦1 においては  が成り立つので  は単調減少します~
したがって,  かつ 0<k<1
が成り立つように k の値をうまく選んでやれば,
F(x) も単調減少になり, F(x)<F(0)=0 が得られます~
この結果から 0<x<1 で f(x)<kx が常に成り立つことがいえるというわけです~ tankoro.gif


d25_20140322212359a9f.jpg







次回は(3)をやっていきます~ hiyoko.gif






    

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