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2014年東京大学前期入試 理系数学 第4問 その3

2014.03.23 11:38|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きです~~




よく分からん関数の考察をする第4問ですが今回は(3)をやりますよ~


(3)では q>p の場合を考えます~

f(c)=c, 0<c<1 を満たす実数 c が存在することをいう問題です~
つまり y=f(x) のグラフと直線 y=x が
0<x<1 の範囲で交点を持つということですね~~



d9_20140321202509cbb.jpg


この状況は, 関数 g(x)=f(x)-x に関して, y=g(x) のグラフが
0<x<1 の範囲で x 軸と交わる
ことに言い換えても構いません~ benibara.gif

そしてそのことを確認するには中間値の定理を使うのが見通しが良さそうです~ body_run.gif

g(1)=-p<0 であることはすぐ確認できるので,
g(α)>0, 0<α<1 となる α を見つけることが出来れば
中間値の定理より g(c)=0, 0<α<c<1 を満たす c の存在がいえます~

この α にあたるものをどうやって見付けるか,
というのが今回のポイントになってきそうです~



 方針1: 0<x<1 における g(x) の極大値が正であることに着目する

0≦x≦1 においては  が成り立つので,  は単調減少です~
 および  であることがすぐ分かるので,
中間値の定理から  を満たす λ が1つ存在します~ car2_tank.gif

このことから g(x) は x=λ において極大値を取ります~
この極大値について g(λ)>g(0)=0 が成り立つので
これで g(x) に中間値の定理を適用する準備が整います~


d26_20140322212359cb9.jpg




 方針2:  なので x=0 の十分近くでは  が単調増加であることに着目する

 なので  の連続性より,
ε>0 を十分小さく取ると 0≦x≦ε において常に  が成り立ちます~ dog_happy.gif

このとき 0≦x≦ε において g(x) は単調に増加するので
g(ε)>g(0)=0 が成り立ちます~

これで g(x) に中間値の定理を適用する準備が整います~




d11_201403212025115ae.jpg




 方針3:  を利用して g(x)>0 となるための x の十分条件を見付ける

問題文で与えてくれてる不等式  を利用してみます~

 と表せて,
これが成り立つ x=α を1個見つけたいわけですよね。
一方で  を評価して  の形の不等式が得られるので,
h(x)>1-x が成り立つような x=α が見つかれば十分だということになります。

そしてそのような x=α を見付けるのは割と容易なのです~ dolphin.gif





d12_201403212025116d9.jpg

d13_201403212025396e9.jpg








これで(1)~(3)まで全部解き終えましたね~

ところで,(2)では p>q の場合を,(3)では q>p の場合を考えましたが
p=q の場合はどうなっているのでしょうか

ちょうど p>q と q>p の境界の場合になるので
(2)と同じように数列 {x_n} を考えるとその極限は0です。
また,直線 y=x が y=f(x)のグラフの x=0 における接線になっています。

x_n→0 であることを確かめてみましょう~

(2)で考えた r=1-p+q は p=q より r=1 になってしまうので
0<r<1 を満たさななくなります。
挟み撃ちの原理を使うには具合が悪くなってしまいますね。

というわけで p=q の場合の考察は何気になかなか大変なのかもしれませんね。
大学1年生レベルの数学の議論でならスッキリ解決できますが
直感に頼る高校数学範囲ではなんだか気持ち悪さが残る説明になってしまいます。

0<x_n≦y_n かつ y_n→0 となる数列 {y_n} を見付けて
挟み撃ちという方針は(2)と大体一緒です。
 を使って  が成り立つことに着目して
 によって数列 {y_n} を定義します。
このとき,各 n に対して  が成り立つことを確かめることが出来ます~ drink_hottea.gif


d27_20140322212400bf1.jpg

d28_20140322212400e97.jpg



y_n→0 を確かめて挟み撃ちの原理を使いたいと思います~

 に関する漸化式から  が得られるので
 が確かめられると 
が確かめられたことになるので,これを使って y_n→0 を導きたいと思います~ eto_ushi.gif





d17_2014032120254222a.jpg



図からも分かると思いますが,
 になりそうなので
この点に着目して  を導いてみます~

 の下限が0でなければ矛盾が生じるという理由で
下限が0であることを確かめ,それと  の単調減少性から
極限が0であることをいいます~

d16_2014032120254171d.jpg
d18_20140321202542c2f.jpg

d19_20140321202643bdf.jpg
d20_201403212026435fd.jpg


   d21_20140321202644624.jpg



終盤の議論はだいぶεδ的な発想を無理矢理高校数学風に直してるような
感じがありますが,一応何とか極限が得られました~ isona.gif













           d22_201403212026455e7.jpg










   
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