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2014年東京大学前期入試 理系数学 第5問

2014.03.29 16:46|大学入試問題
どもども。



今回は今年の東大前期入試の理系数学第5問です~

問題はこちら~

14t5.jpg


整数問題です~~
最後の(4)がちょっと厄介ですが,
小問4つに分けられてる分,(3)までしっかり出来てればそれなりに得点することは出来るんじゃないでしょうか~

漸化式  によって数列  を定めます~
素数 p に対し, a_n を p で割ったときの余りを b_n と定めるようです~

割り算の余りに関する命題を扱うので,合同式を利用するとやりやすいですよー
新課程になったら合同式が参考書などに取り上げられるようになって,
試験とかでも何食わぬ顔で合同式を使うことが出来やすくなっています~

今回の試験は旧課程で学んだ学生さんが受けたものなので,
答案の冒頭で大雑把に合同式の導入について触れておくといいかもしれません~
必要な性質だけ確認しておきます~ cat_4.gif




e1_20140329162352007.jpg



今回はこの3つをあらかじめ確認しておこうと思います~


e2_20140329162352f36.jpg


準備が出来たので問題を見てみますよ~
ていうかここまで導入をしておく必要があるのなら,
合同式を使わないで解いてしまうほうが早かったりするかもしれませんね christmas.gif




(1)は  を p で割ったときの余り  と
 を pで割ったときの余りが等しいことを確かめる問題です~

合同式を用いていうと  
が成り立つということを確かめる問題ですよ~




 方針1: 合同式を使う

上で挙げた合同式の性質①~③を駆使して実証してみます~
導入は面倒くさかったものの,それさえ済んでしまえばその先は楽チンです~ cutlet.gif


e3_20140329162353ee4.jpg




 方針2:  とおいて計算してみる

a_n を p で割ったときの商を q_n とおいてやれば
a_n=pq_n+b_n という形の表示が一意的に得られます~
合同式なんぞを導入しなくても,この表示式を利用して計算すれば
特に難なく証明ができます~ dog_shy.gif

p の倍数のかたまりを作り出すというのがポイントです~



e4_20140329162353c95.jpg



次のような変形で導いても大丈夫ですよ~


e5_20140329162354f5b.jpg



(2)に進みます~

(2)では p=17, r=2 という具体的な状況における考察です~
こういう設問が用意される意図は,大抵の場合,
後に待ち構える問題を解く上でのヒントになっているものです~ eto_hitsuji.gif

数列 {a_n} が結構な勢いの単調増大列になっているため,
具体的な a_9, a_10 などの値を求めて17で割った余りを計算するのはひどく困難です

大体 n=4 とか n=5 あたりで 「・・・おや!?」
と思う気がするのですが, {b_n} が 2,3,9,2,3,9,2,3,9,・・・・ となっていて
どうやら周期3の周期数列になっているようですよ~ drink_hottea.gif

この周期性を利用するか,
合同式の性質を使って簡潔に計算するか,
(1)の結果を使って簡潔に計算するか,
そういった手段によっ答えを出すというのが妥当です~


e6_20140329162354d09.jpg
e7_20140329162552ca3.jpg




律儀に周期性を証明しようと思ったら,数学的帰納法を用いて
 が成り立つことを述べるのが良いと思います~
3項間漸化式で {a_n} が定義されているので,
n=k,k+1 の場合を仮定して n=k+2 の場合を検証するタイプの帰納法を用いると良さげです~ drink_juice.gif



e12_20140329162555f69.jpg




(3) に進みます~
 が成り立つならば  
も成り立つことを確かめる問題ですよ~



b_n の配列の中で,隣り合う2項の値の組合わせが共通している部分があれば
その手前の項も値が共通しているという主張です~
 という仮定が付随しています。恐らくこれがないと都合が悪いのでしょう~
さらにいうと, p で割った余りなので  が成り立っていることが言えます~ eto_ne.gif

まずは合同式を使ってやってみます~
(1)の結果にこの設問の仮定を織り交ぜて変形してみたいと思います~

e8_201403291625536e0.jpg

e9_2014032916255372e.jpg



大体同じ内容を合同式なしで述べるとこんな感じです~~ gp05.gif



e10_201403291625543ee.jpg
e11_20140329162554aab.jpg




この(3)を利用して(4)を解きます~
数列 {a_n} において, n≧2 ならば a_n は p の倍数ではないと仮定すれば
初項 a_1 も p の倍数ではないことを確かめる問題です~

(3)を利用するためには,(3)の命題の仮定を満たすことが必要ですね。
 を満たす m,n が無いといけません

1≦m<n と仮定しましょう~ a_m が p の倍数ではないという設定から
 は満たされています。

問題は  の方です~

これを満たす m と n を具体的にコレとコレ!!
と見つけ出すのは難しいです。
しかし,どこにあるかは分かんないけど確実に何処かにはあるよ!
というだけだったら鳩ノ巣原理(部屋割り論法,ディリクレの箱入れ原理)を使えば簡単に説明できてしまいます~ kaeru_en2.gif

鳩ノ巣原理はしばしば入試問題においても解法の重要ポイントとして用いられることが多いですが
定理として教科書に載ってるようなものでもないので馴染みの薄い人は結構多いですよねー

 であることから,
 の組として有り得るものは高々 (p-1)^2 通りであるということに着目します~ kasabake.gif

有限個の種類しか存在しないということは,無限個の組  
の中には必ず  を満たすものが混じっている
ということになります kuma_fly.gif
無限個全てが別々のものになる,ということは出来ないわけですね~~


これでめでたく(3)の結果が利用できます~
つまり上の条件を満たすように m と n を選んでくると b_m=b_n も成り立ってるわけですね。
このとき,次のことに気が付かなければいけません。
今度は  が成り立っていることが確認されてしまったのです~
この状態で更に b_m>0 であったら次は  が得られてしまうのです~ ladybug.gif

b_{m-1}>0 なら今度は  が出てきて,以下帰納的に同じことを繰り返して
どんどん遡っていけるのです~
遡っていくうちにやがて初項 b_1 に辿り着きますね。
そのとき b_1>0 が成り立ちますよ~という結論を得ることができます~


e13_20140329162615c84.jpg


  e14_20140329162616c92.jpg




なかなか手強い問題でしたね~~~
最後の(4)の解法の議論と(1)の結果などを合わせ見ると数列 {b_n} の
周期性を述べることも出来そうですね~~

そんじゃぁ,まぁそれでは今回はここまで~~~ kudan.gif







             e15_201403291636201bc.jpg







  
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