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2014年東京大学前期入試 理系数学 第6問 その1

2014.04.02 14:51|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期東大入試の理系数学第6問を考えてみます~

問題はこちら~

14t6.jpg



線分の通過範囲を領域として図示するという趣旨の問題です~~ 8257377.gif


線分  上の点 P と,
線分  上の点 Q を OP+OQ=6 を満たすように取るとき,
線分 PQ の通過範囲が D だそうです~
この D を求めるという問題ですね~


 とおくと,
OP_0=OQ_0=4 なので,条件を満たす線分 PQ のうち,
最も傾きが小さいものは下図の線分 P_1Q_1 で,そこからどんどん傾きが大きくなっていって
最も傾きが大きくなると下図の線分 P_3Q_3 になります~~ jyugon.gif


D を求める手順として, D を直線 x=s で切ったときの切り口を求めて,
それを連ねていけば D の全体像が分かるでしょう~
という発想を使います~ insect_kago.gif
断面積を積分して体積を求めるような話と似てますね。


f1_2014040116235595e.jpg


今回の領域 D は y 軸に関して対称になっているので
D のうち x≧0 側の部分について考えれば全体がわかります~

というわけで(1)では 0≦s≦2 として (s,t)∈D を満たす t の範囲
求める設問になっています~


(s,t)∈D であるということは (s,t) という点が
何かしらの場合の線分 PQ の上に乗っているということですよね。
おそらく直線 PQ の方程式を何かしらをパラメータにとって表してみよう
という発想になると思うんですよ。
大体ベタなところとしては P(p,√3p) とおいて, p を使って表示するか
あるいは傾きを a などとおいて y=a(x-s)+t と表すか辺りのことになりそうです~ tawa02.gif

まずは前者の p を用いて表すパターンを考えてみますよ~
p の動く範囲としては上の図の P_1 から P_3 までなので 1≦p≦2 ということになります。
この範囲内で上手に何かしらの p を取れば線分 PQ 上に (s,t) が乗っている。
そんな (s,t) の集合を考えたいという状況ですよ~ taxi01.gif



f2_20140401162356742.jpg





ここから先は方針が分かれます~~

 方針1: t を p の関数だと思って値域を調べてみる

s は 0≦s≦2 を満たす定数として固定しておきます。
直線 PQ の方程式を表示できたので x=s のときの y の値 y=t が
p を変数とする関数で表されます

具体的にいうと  です~

これは文字定数 s を含んだ p の2次関数とみなせるので,
軸の位置に注意しながら最小値と最大値を調べて t の値域を計算してみましょう~ takenoko03.gif
ここからは日頃からやり慣れた2次関数の最大・最小の問題になってしまいます~

軸の位置で場合分けしながら最大値と最小値を両方求める場合,
場合分けの境目が最大値編と最小値編で異なるため,両者を同時に考えようとはせずに
一旦別々に求めると混乱が少なく済みます~

t の最大値と最小値が分かったら即解決!
・・・というわけでもなかったりします。
あくまでも (s,t) は "線分" PQ 上にある点なので
直線 PQ 上にあるというだけでは不十分なんです~

線分 PQ は常に直線 y=√3x を境にしてその上側部分にあるので
t=√3x の下側にある (s,t) は省いておかなければいけませんよ~ hunayurei.gif



f3_20140401162356ba8.jpg
f4_20140401162357644.jpg
f5_201404011623583ab.jpg
f30.jpg
f32.jpg
f28.jpg



 方針2: 2次方程式の解の配置問題に帰着させる


今度は  を p に関する2次方程式とみなします。
s,t は文字定数です。 (s,t) が直線 y=√3x の上側にあるということなので, 
t≧√3s を仮定しておく必要がありますが,ややこしくなるので一旦置いておきます。
この方程式が 1≦p≦2 の範囲に解を持つように設定してやりたいと思います~ hiyos.gif

この範囲に解を持てば,そのときの p の値に対して定まる直線 PQ の上に (s,t) が
確かに乗っていることになります。



f7_20140401162427791.jpg

f8_20140401162427611.jpg



ここからはいわゆる2次方程式の解の配置問題です~

y=f(p) のグラフの位置をいじくって 1≦p≦2 の範囲で少なくとも1回 x 軸と
共有点を持つようにします。

起こり得るシチュエーションというのがいくつか存在するので場合分けして考えます~

全てのパターンが排反になるようにしようとすると場合分ける数が増えてしまうこともあると思います。
同じパターンが複数の場合に重複して含まれる分には特に支障はないので,
どちらかと言うとむしろパターン漏れが起きないようにすることに注意して場合分けをしましょう~ m_0001.gif




f9_20140401162428c0c.jpg



それぞれのパターンが起こるような t の範囲を考察してみます~~ m_0006.gif



f10_201404011624296ad.jpg


  f11_201404011624297e3.jpg
  f12_20140401162430b20.jpg



(ア)~(エ) のうちのどれかが起これば良いので,
出てきた t の範囲を合併していきましょう~ m_0025.gif
s の範囲ごとにこの結果は変わってきます~


f13_201404011624593bd.jpg
f14_20140401162500545.jpg



f15_20140401162501dc5.jpg
f16_20140401162501f86.jpg



f17_2014040116250283e.jpg


f18_201404011625023e2.jpg



あとは最初に一旦置いておいた t≧√3s の条件を加えてやればおしまいです~ m_0036.gif





f29.jpg
f31.jpg

f28.jpg




あと2つくらい解法の方針を挙げてみようと思いますが
一旦今回はここまでにして続きは次回にします~~ m_0185.gif















           
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