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2014年東京大学前期入試 理系数学 第6問 その2

2014.04.03 00:18|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きです~~




線分の通過範囲 D を表す領域を求める問題でした~

(1)では D を直線 x=s で切ったときの切り口を考えていました~

この(1)に関して解法の方針を追加で挙げていきます~



 という関係式が得られていましたが,
t を p の関数とみなす発想と,この関係式を p の2次方程式とみなす発想を前回挙げました~


 方針3: p を t の関数とみなす


方針2と同じように  を p の2次方程式とみなして
実際に解の公式でも使って解いてみることにしましょう~ w05.gif




g5_201404022208023d9.jpg


2次方程式なので解は2個出てきますよね。
s は定数とみなすので実質的に2個出てくるそれぞれの p は t を変数とする無理関数になっています~

s は 0≦s≦2 の他にも q≦s≦p ⇔ p-3≦s≦p ⇔ s≦p≦s+3
を満たします。

1≦p≦2 かつ s≦p≦s+3 を満たす t の範囲を考えれば良いことになります~~ eto_uma.gif

グラフを使いながら考えていきますよ~
(s+3)/2 と 2 の大小関係に着目して場合分けしていきます~




g6_20140402220803e2a.jpg
g7_20140402220804791.jpg



p_1=1 となる t の値を求めるのは 
の方に p=1 を代入するのが早いですよ~ kuma_fly.gif





g8_20140402220805807.jpg

g9_20140402220805349.jpg





g10_2014040222080619f.jpg





g11_20140402220817ef0.jpg






 方針4: 直線 PQ の傾きを変数にする


これまでの方針は P の x 座標 p を変数や未知数とみる考え方でした~
今度は直線 PQ の傾きを変数としてみます~
これまでの方針1~3と同様に複数の発想が使えますが,ここでは方針1に近い方針をとってみることにします~

PQ の方程式を y=a(x-s)+t とおきます~ kaeru_yodare1.gif

前回見たように, PQ の傾きの最小値は,最大値はだったので
 が成り立ちます~

,   
になるので, OP+OQ=6 の関係式から
 が得られます~
これを a の関数だと思って t の値域を考えていくと良いですよ~ m_0234.gif




g1_201404022200397bc.jpg

g2_20140402220039f79.jpg
g3_20140402220040e2a.jpg
g4_20140402220041f6d.jpg

f28.jpg














さて,最後は(2)をやって終わりにします~~

(1)によって D を直線 x=s で切ったときの断面がわかりました。
-2≦s≦0 の部分は 0≦s≦2 の部分を y 軸に関して対称にすればOKです~
これを忠実に図示していくことで D の概形が分かります~

なるべく大きく図を描かないと, D が潰れて上手く描けないと思います~
大きく描いてくださいね~ rabi_love.gif




g12_2014040223405403c.jpg













            f27.jpg












           
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