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2014年京都大学前期入試 理系数学 第1問

2014.04.07 16:37|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大前期入試の理系数学第1問を考えてみます~

問題はこちら~

14k1.jpg




今年の京大理系数学の問題を見てみると,
どの大問も小問に分かれていないことに気が付きます。
もともとそういう出題の仕方が多いんですが,
今回は顕著でしたね~


大問1は空間内の3直線に関する問題です~
3直線 ℓ, m, n があり, ℓ 上に点 P を取ります~
P から m, n へそれぞれ垂線 PQ, PR を下したときの
PQ^2+PR^2 の最小値を求めるという内容です~ jyugon.gif

3直線はいずれも簡単にパラメータ表示が出来てしまいます。
P の位置さえ決めてしまえば, Q, R の位置も自動的に決まってしまうので
実質的に PQ^2+PR^2 は ℓ のパラメータを変数とする1変数関数とみなせてしまいます~
あとはその1変数関数の最小値を求めればよいわけです~

つまり,最初に P を固定した場合の最小値を求め(いわば予選ブロック),
次に P を動かして真の最小値を決める(いわば決勝戦)という戦法です~ ny_hagoita.gif

どうやってこの1変数関数を求めていくかといった辺りまでが大きな山でしょうか~

 方針1:内積を利用して Q, R の位置を決める

PQ⊥m ということは,  が成り立つということですね~
同様に, PQ⊥n ということは,  が成り立ちます~

この関係式から, P を固定したときの Q, R の表示が一意的に表されます~ yotto.gif






h1_20140407134242f1d.jpg


この結果から,  となることが分かり, 
b, c を含まない形にすることが出来ました~
よく見ると, Q の座標が a に依存しない形で表されています。
P を ℓ 上のどの場所に取っても m に垂線を下したら
その足は常に (2,1,-2) であるということなのですが,
これは ℓ と点 (2,1,-2) を含む平面と直線 m が垂直に交わっているために
このようなことが起きています。
確かに,  が成り立っていることから  になっています~ tentou03.gif


h7_20140407134306d4d.jpg




それはさておき,これで PQ^2+PR^2 を a のみで表す準備が出来たので
あとは最小値を求めて終わりです~



h2_2014040713424314e.jpg






 方針2:点 P と直線 m, n との距離を考えてみる

PQ⊥m ということは,線分 PQ の長さというのは
ちょうど点 P と直線 m の距離を表しています~
そこで,直線 m 上に点 M を取ってみたとき,線分 PM の長さの最小値が 
PQ の長さに等しくなっている
ことが分かります~xmas_tonakai.gif

同様に,直線 n 上に点 N を取って線分 PN の最小値を考えると
これが PR の長さに等しくなっています~


h4_20140407134244103.jpg

h8_20140407161634d7b.jpg





 方針3: PM^2+PN^2 の最小値を考えてみる


方針2と同様に m 上に M を, n 上に N を取ってみます~
つまり3直線上に1点ずつ自由に点を取るということですね。
このとき, PM^2+PN^2 の最小値が実は PQ^2+PR^2 の最小値に一致しているということに
着目してみたいと思います~ niwatori.gif

まず, PM^2+PN^2 が最小値 α を持つと仮定しましょう~
現時点ではまだ最小値があるかどうか分かっていないので,あくまで「仮定」です。
一方で, PQ^2+PR^2 の下限を β とおきます。
下限とは,常に PQ^2+PR^2≧β を満たす β の中で最大のもののことです。
PQ^2+PR^2≧0 なんかは常に成り立つので β≧0 は明白です。
この時点で有限な値の下限が存在することは確定です(高校数学範囲では若干微妙)。
PQ^2+PR^2 が最小値を持っているならば,その最小値が β に等しくなります。

PQ^2+PR^2 というのは PM^2+PN^2 の特別なものなので α≦β なのはすぐ分かると思います。
逆に α≧β が成り立つことが確かめられれば α=β であることが言えますね~ eto_tatsu.gif




h5_20140407134244c3e.jpg



PM^2+PN^2 が最小値 α を持つことは方針1,2と同様に確かめることが出来ます~
方針1,2との差異を出すために敢えて最初に a に関して平方完成してみましょう~


h9_20140407161634f56.jpg


確かに α が存在することが分かったので,
その α は PQ^2+PR^2 の下限 β と等しいことが分かります。

最後に,実際に PQ^2+PR^2=β が成り立つような P があることを確かめて終わりです~
それが確かめられれば β は「下限」から「最小値」へと格上げされますよ~ eto_saru.gif
 であることが分かっているので,
このときの P_0 に対応する Q, R を Q_0, R_0 として
 が成り立つことを確かめればよいです~


h10_2014040716163506c.jpg








h11_2014040716301334a.jpg












             
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