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2014年京都大学前期入試 理系数学 第2問

2014.04.11 00:57|大学入試問題
どもども。





今回は今年の前期京大入試の理系数学第2問を考えてみます~~

問題はこちら~

14k2.jpg



確率の問題です~~

等確率で隣の点に移動する動点がテーマの,非常によくあるタイプの問題だと思います~
ただ,動点が2個あるというところが多少珍しいという感じかもしれません~ bakezouri.gif

正三角形ABCがあり,頂点 A に2つの粒子(P,Q と呼ぶことにしましょう~)があるそうで,
1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動するということらしいです。
つまり1秒後には粒子 P は確率  で頂点 B へ,確率  で頂点 C へ移動します。
粒子 Q も同様です~
このような運動が毎秒起こるということですね。
スタートから n 秒後に P と Q が同じ頂点に入る確率 p(n) を求めるというのがお題です~

i1_201404102048561f6.jpg


n 秒後という,なんだかよく分からない時刻の現象の確率について考えなければいけないので,
そういうときは確率漸化式を立てて考えるのが定番の手法です~ body_jump.gif


今回は3通りの方針を試してみたいと思います~~


 方針1:素直に p(n) に関する漸化式を立てる

まずは一番オーソドックスな解法を試してみることにします~~
p(n) を求めたい問題なのだから, p(n) に関する漸化式を立てて解くというのが
一番はじめに思いつく発想のはずです~ buta.gif

p(n+1) を p(n) の式で表すことを検討してみたいと思います~
p(n+1) は出発から n+1 秒後に P, Q が同じ頂点に居る確率ですね。
「出発から n+1 秒後に P, Q が同じ頂点に居る」ためには,
出発から n 秒後の時点でどのような状態になっている必要があるでしょうか。
それを考えてみると次の2パターンのどちらかでないといけないことに気付くはずです~

(ア) n 秒後の時点で P, Q は同じ頂点に居て,次の1秒も同じ頂点に移動する
(イ) n 秒後の時点で P, Q は異なる頂点に居て,次の1秒は n 秒後の時点で
   P, Q が居なかった残りの頂点に両粒子が移動する


(ア)について考えてみると, n 秒後の時点で P, Q が同じ頂点に居る確率は p(n) で,
毎秒において P と Q が同じ方向に移動する確率は  なので,
(ア) の確率は  になります~

(イ)も同様に考えます~
n 秒後の時点で P, Q が異なる頂点に居る確率は 1-p(n) で,
次の1秒は P と Q が移動する方向はもう決まっているので確率は 
になるので,(イ)の確率は  になります~ car2_dump.gif



i2_201404102048562eb.jpg
i3_20140410204857e85.jpg


あとは漸化式を解けばいいですね~
n≧0 で成り立つ漸化式なので初項を p(0)=1 としても構いません。
日頃から慣れているように n≧1 で漸化式を考えると初項は p(1)=1/2 になります~

i4_20140410204857fd4.jpg




 方針2: n 秒後に P が各頂点に居る確率をそれぞれ求めてみる

「出発から n 秒後に P, Q が同じ頂点に居る」という状態は
次のどれかが起きているという状態です:

(1) 出発から n 秒後に P と Q が共に A に居る
(2) 出発から n 秒後に P と Q が共に B に居る
(3) 出発から n 秒後に P と Q が共に C に居る


よって(1),(2),(3)の確率の和を求めればよいわけですね~ eto_tatsu.gif
(1)は更に「出発から n 秒後に P が A に居る」かつ「出発から n 秒後に Q が A に居る」
と言い換えることが出来ます。

ここで,「出発から n 秒後に P が A に居る」確率を  とおきます~
同様に B, C に居る確率も  とおいておきましょう~

粒子 P,Q は対等な存在なので,対称性から Q が出発から n 秒後に A, B, C に居る確率も
それぞれ  になっています~
このような対称性に気が付かないと無駄に文字をおいて設定する確率の数が増えてしまって
考察が非常に面倒になります~ kaeru_ang2.gif
いまのは粒子の対等性から由来する対称性ですが,
もう1つ,図形の対称性から由来する B と C の対等性があります。
つまり,  です。

実質的に  さえ分かってしまえば良さそうですね。
この2つが分かれば,求める確率 p(n)(=(1),(2),(3)の確率の和) は
 によって求められます~ kuma_fly.gif





さて,文字でおいた複数の確率が出てくるときは、全確率=1の関係性から
1つの確率を消去することが出来ます。
今回は  から  が得られるので,
 を消去して  に関する漸化式を立てて解いてみましょう~ kitune.gif



i5_2014041020485825c.jpg
i6_2014041020485880b.jpg
i7_20140410204926bae.jpg

i8_20140410204926797.jpg




最後の計算が若干面倒くさいですね~~~ kawauso.gif

どうせ  は最後に2乗するんだから,
はじめから2乗したものを求めたらいいんじゃないか,という考え方もあると思います。
(n 秒後に P, Q が共に A に居る確率),(n 秒後に P, Q が共に B に居る確率),
(n 秒後に P, Q が共に C に居る確率)をそれぞれ文字でおこう
という発想です。

次はそういう発想でいってみます。



 方針3: n 秒後に P, Q がどの頂点に居るかについてそれぞれの確率を考えてみる


n 秒後の時点で起こる P, Q の位置のあり方 (P の位置, Q の位置) の組は
3×3=9 通りあります。
それぞれの確率を考察してみることにしましょう。

n 秒後に P が頂点 V_1 に, Q が頂点 V_2 に居る確率を  と
おくことにします~
V_1 , V_2 はそれぞれ A, B, C のいずれかです~

 を求めるのが目標です~

9個の確率に関する連立漸化式を解くのは通常は容易ではないです。
しかし,今の場合は対称性により

, 


が成り立っています~ pakukapa.gif


そんなわけで,  が分かれば9個全て分かるのですね。

9個から4個に減ったとはいえ,4個の数列の連立漸化式でも結構大変です。
ここから先はしばらく面倒な計算になりそうです~ s2_sum_hotaru.gif



を  を使って表してみましょう~


i9_20140410204927825.jpg


i10_201404102049275dd.jpg

i11_20140410204928494.jpg


なかなか複雑ですね。
どれかを消去しようと思ってもそれがなかなか面倒くさそうです。

そこで1回,  を求める作業を挟んでみようと思います。
b_n に関する漸化式は4式から割と容易に手に入れることができます~ risu.gif


i12_20140410204928d59.jpg


これまで得られた関係式と,あと1つ,全確率=1の関係式を使って
 に関する漸化式を立てたいと思います~ rokuro.gif



i13_201404102049480dd.jpg
i14_20140410204948596.jpg

i15_20140410204949ed1.jpg


さらっと漸化式  
を解いていますが,何気に慣れてないと苦労する形ではないかと思います hamu01.gif

 とおいて,  が成り立つように

定数 α と β の値を求めることで,数列  が
等比数列になることに着目して解いています~ nezumi02.gif




さて, あとは結論に向かって一直線です~~ jyugon.gif




i16_201404102049509cf.jpg






















                
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