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2014年京都大学前期入試 理系数学 第3問

2014.04.16 14:06|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大前期入試の第3問を考えてみます~

問題はこちら~

14k3.jpg


三角形の面積の最大値に関する問題です~
前半は三角比,後半は微分といった感じでしょうか~

シンプルな問題文ですね。
△ABC は ∠B=2∠A を満たしているようですが,
このとき △ABC の面積 S の最大値を与える cos∠B の値を求めよう~
というのがテーマです~ udon(2).gif

まずは S を求めてみたいと思います~
与えられているのが角に関する条件なので
∠A=θ, ∠B=2θ とおいて S を θ の関数で表してみましょう~

 方針1: 正弦定理を使う

j1_20140416121755718.jpg

最終的に知りたいのは cos2θ の値です~
そこで, AB の長さを求めて  の公式に当てはめると
S が 2θ の式で表すことが出来て何かと都合がいいです~ suika.gif

∠C=π-3θ であることに着目して正弦定理を使って
AB の長さを求めると簡単です~

ちなみに, ∠C=π-3θ>0 が成り立たなければならないことから
 でなければいけません。後でこの範囲において S の最大値を考えることになるので
覚えておきましょう~~ insect_kuwa_m.gif




j2_201404161217556e6.jpg


j3_20140416121756b11.jpg



 方針2: ABを底辺とみて,底辺と高さの長さを求める

三角形の面積の基本は 底辺×高さ÷2 なので,
これを使って S を求めてみましょう~

C から直線 AB へ垂線 CH を下して高さ CH の長さを求めます~
直角三角形 CBH に着目すると簡単に CH と BH の長さは求められます。
直角三角形 ACH に着目して AH の長さもわかります~

ただ,この方針では注意が必要です。
∠B は鋭角・直角・鈍角すべての場合が起こり得るので
すべての場合に思いを巡らせなければいけません~ kaeru_en4.gif


j4_201404161217573ee.jpg
j5_20140416121757e7a.jpg


  j6_20140416121758cbf.jpg
j7_20140416121830989.jpg



 方針3: 座標を導入する

B を原点, C(1,0) となるように座標を導入してみましょう~
A(p.q) を q>0 になるように取ると,
S は BC=1 を底辺とみれば S=q/2 と書けます~
これは ∠B が鋭角だろうが直角だろうが鈍角だろうが正しいです~

ただ, ∠B が直角の場合と ∠C が直角の場合は
直線 AB や AC の方程式が y=ax+b の形にならない
ので注意です。

j8_20140416121831545.jpg
j9_201404161218322f1.jpg

j10_20140416121832607.jpg








では,ぼちぼち S がいつ最大になるか調べるステップへ進みましょうか~~ m_0025.gif


 方針1:素直に θ の関数とみなす

S を θ の関数とみたとき,
三角関数の単元の問題として処理できればそれで済むのですが
今回はちょっと大変そうなので微分を持ちだして考察することにします~ m_0001.gif


j11_20140416121833685.jpg





  のとき 
が成り立つので, この範囲に入ってるものを選び出さなければいけません。




j12_20140416121833297.jpg

j13_20140416121905b48.jpg
j14_201404161219061a7.jpg



具体的な最大値の値も求めることは可能ですが,要求はされていませんね。



 のまま S を求めて  

の形で議論する場合は,更にもう1回 S を積和の公式で変形して
 とおくと導関数が容易に 2θ の式で表せて 

上の解法と同様に  が得られます~ m_0249.gif



積和を使わないとしたら,最初1回,最大値を与える cosθ の値を先に求めて
2倍角の公式で cos2θ を求める流れなどになるかもしれませんね。
その手のパターンはこのあと方針3でひとつやっています~




 方針2: x=cos2θ とおいて x の関数にしてみる

知りたいのは cos2θ の値なので,もう丸ごと x=cos2θ とおいてしまって
S を x の関数にしてしまおうという作戦です~ m_0244.gif


 なので, S は x の無理関数になってしまうのですが,
x を含む部分を全部根号の中に押し込んで,根号の中身だけを T(x) とおけば
多項式の考察だけで済んでしまいますよ~~


j15_2014041612190764f.jpg

大小比較は方針1でやったのと同じようにやってください~

j16_201404161219079e1.jpg






無理関数のまま処理した場合はこんな感じになりますよ~
思ったより大変でもなかったです~ m_0250.gif




j17_2014041612190888b.jpg



 方針3: 座標を用いたバージョンの続き

S を座標を用いて計算していた際,  

のように tan を残したまま処理をしていると S も tan を含んだ形で出てきますが,
敢えて S の逆数を考えてみると 

という形が出てきます~
これは  では常に定義できる式で,一旦除外していた π/4 と π/6 も
加える事が出来ます~

S よりも 1/S の方が扱いやすいので 1/S の最小値を考えましょう~ m_0251.gif
S が最大になるのは 1/S が最小のときであることに注意です~


j18_20140416121909b05.jpg



j19_20140416121932e1a.jpg



j20_2014041612193379e.jpg




この方針では一旦最小値を与える cosθ の値を先に求めます~ patikapa.gif



j21_201404161219346c0.jpg
j22_20140416121934847.jpg








元の関数より逆数を考えるほうが簡単そうな場合ってのは割とよくあるので
そのような場合は臆せず逆数を考えましょう~~ panda_1.gif











         
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