プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2014年京都大学前期入試 理系数学 第4問

2014.04.23 13:55|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大前期入試の理系数学第4問を考えてみますよ~

問題はこちら~

14k4.jpg



領域図示の問題ですね~

文字定数 a, b を含んだなんだかよく分からない分数関数 f(x) が与えられていて,
不等式  がすべての実数 x について成り立つための条件を求めるという,
見た目はなかなかハードそうな問題ですよ~ body_stretch.gif


 に   を代入した



を分母を払って整理して~・・・
なんていう方針をと選ぶのは賢明ではないです~
明らかに面倒くさい計算が待っています

f(x)=y とおいてみましょう。
 という不等式になるわけですが
これは変形して (y+1)(y-1)(y-2)≧0 になることに気付けるでしょうか~ car2_tank.gif

 
y-2<y-1<y+1 に注意すると,
(y+1)(y-1)(y-2)≧0 が成り立つためには
「 y-2, y-1 が0以下かつ y+1 は0以上」 または
「 y-2, y-1, y+1 がすべて0以上」 

のどちらかでなければならないですね~

このことは,「 y-1≦0 かつ y+1≧0 」 または 「 y-2≧0 」
すなわち 「 -1≦y≦1 」 または 「 y≧2 」
と同値であることをまず見抜くことが重要です~

つまり,すべての実数 x について 「 -1≦f(x)≦1 または f(x)≧2 」
が成り立つような (a,b) を調べれば良い
ということになり,
これでだいぶ見通しが良くなった気がします~ dog_shy.gif


「 -1≦y≦1 または y≧2 」 を得る部分については,
3次関数 g(y)=y^3-2y^2-y+2=(y+1)(y-1)(y-2) のグラフを考えて
g(y)≧0 となっている部分をピックアップする
という発想で導くことも出来ます~ hiyo_en1.gif


k1_2014042302182749c.jpg


k2_20140423021827471.jpg



さて,ここで y=f(x) がすべての実数 x に対して定義された連続関数であることに着目します。
分数関数なので,分母が0になる点で連続性が途切れそうな気が一見するのですが
よく見ると分母の x^2+x+1 は常に正の値を取る関数で,決して0になることがないんですね

分子が1次式( a=0 の場合は別ですが),分母が2次式なので,
x→±∞ のときは分母のほうが強くて f(x)→0 になってしまいます。
1<f(x)<2 を満たす x があってはいけないので,
もしも何かしらの実数 p に対して f(p)>2 を満たしていたとしたら
x>p の範囲で必ず 1<f(x)<2 を満たす x が出てきてしまいます。
そうでないと 0 に収束できませんね~
そーいうわけで,そんな p があっては困るんです。
 
結局,任意の実数 x に対して -1≦f(x)≦1 でなければいけません kaeru_en2.gif


k3_20140423021828c8e.jpg






ここから先は方針が少し分かれるかもしれません~

 方針1:2次不等式 x^2+(a+1)x+b+1≧0, x^2-(a-1)x-b+1≧0 が絶対不等式になるようにする

  のままでは考え辛いので,分母を払って整理しましょう~

x^2+x+1>0 なので分母を払う際に不等号の向きは変化しません。
通常は分母の符号によって不等号の向きが変わるので注意が必要な操作です。

その結果,すべての x に対して x^2+(a+1)x+b+1≧0, x^2-(a-1)x-b+1≧0 の
両方が成り立つように a, b を設定してやれば良いことが分かります。

左辺を2次関数とみて 最小値≧0 としてやるか,あるいは 左辺=0 とおいた方程式の判別式≦0
としてやればよいですね~ kame.gifkame.gif



k4_20140423021829bc6.jpg
k5_201404230218290bc.jpg



あとは図示しておしまいですね~~ kasabake.gif



k6_201404230218304da.jpg





 方針2:関数 y=f(x) の増減を考えて「最大値が-1以上 かつ 最小値が1以下」としてみる

y=f(x) の値域が -1≦y≦1 の中にすっぽり入ってしまっていればよいわけですよね。
ということは, 最大値≧-1 かつ 最小値≦1 であればいいですね~ kuma_fly.gif

y=f(x) のグラフがどんな形か考えてみることにしましょう~
a が正か負か0かで微妙に話が変わってくるので,それぞれ分けて考えてみることにします。

なお a=b=0 のときは f(x) が恒等的に0になってしまい,ちょっと扱いづらいです。
確かに -1≦y≦1 を満たしているので (a,b)=(0,0) は求める領域に含まれます。
あとは (a,b)≠(0,0) の場合について考えれば十分です。

a=0 の場合から考えてみます~
ab 平面でいうところの b 軸上の点に相当しますね。

k9_20140423021858fc6.jpg

k7_2014042302185738b.jpg
k8_20140423021858277.jpg


原点を加えて -3/4≦b≦3/4 の範囲を b 軸上で動くようです。
覚えておきましょう~~

次は a>0 の場合を考えます。

a,b の値によらず極大値と極小値を持つことに注意してください~ korobo.gif

このときの極大値,極小値がそのままそれぞれ最大値,最小値になっています~



k10_20140423021859f61.jpg
k11_20140423021859750.jpg


ここからは無理不等式を解かなければいけないので面倒ですね。

同値性に注意しながら処理をしてくださいね~ kojika.gif



k12_20140423021900578.jpg

k15_201404231329411b1.jpg



k13_20140423021928407.jpg
k14_201404230219281b3.jpg


k16_20140423132941b21.jpg





そんでもって,これらの情報を総合すると,



k17_20140423132942c59.jpg


な感じになります~~ kitune.gif


最後は a<0 の場合ですね~~

正のときと同じようにやればいいわけなんですが,ここでちょっと 


であることに着目してみましょう~
-a>0 なので,上で得た結果を利用して (-a,-b)∈E となる条件を
考えるだけで解決しちゃうんですよね~ kawauso.gif


ちょうど 領域 E を原点に関して対称移動したような領域が得られるはずです~

k18_20140423021930904.jpg




以上の情報をすべて総合することで,方針1の時と同じ領域が答えとして得られますね~~

方針1と比べてかなり労力が必要になってしまいました~~ nakioni.gif




 方針3:関数 y=f(x) の最大値,最小値を判別式の議論で求めてから方針2と同様に考える


微分とかしてグラフを描いて~~となると労力がかかるので,
方針1と似たような要領で,判別式の議論に帰着させて y=f(x) の値域を調べてみようと思います~ m_0251.gif




と変形します~
y=0 のときを除いて x の2次方程式になるので実数 x が得られるには
判別式≧0 であることが必要十分になります

厄介な y=0 の場合を先に考えてしまいます。
つまり y=0 が f(x) の値域に含まれるかどうかという点についてです。
結果としては, a=0 のときは値域に含まれず, a≠0 のときは含まれます。

y≠0 のときは判別式を使って考えます~


k9_20140423021858fc6.jpg

k19_2014042302194894c.jpg
k20_20140423021948fb6.jpg

k21.jpg


  k22.jpg



方針2のときとは違う形で最小値と最大値が出てきたように見えますが,
計算してみるとしっかり同じものを表しています m_0250.gif


あとは方針2と同様に無理不等式を解いていけば良いという流れになります~
そこは省略しますね~



そんなわけで今回はこの辺にしておきます~~ rokuro.gif





  
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。