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2014年京都大学前期入試 理系数学 第5問

2014.05.02 21:28|大学入試問題
どもども。

今回は今年の京大前期入試の理系数学第5問を考えてみます~

問題はこちら~

14k5.jpg



整数問題です~~
いろいろ試行錯誤しながら の最小値を求めていく問題です~
新課程になり「整数の性質」の単元が正式導入されたこともあり
整数問題の出題はさらに勢いを増しそうです~

今回の問題は3の倍数でない自然数 a と b があって,
 は81で割り切れるという条件下で  の最小値を考えなければいけません car2_tank.gif

いくつか解法のアイデアがあると思うので,答案のパターンも色々ありそうですね。
今回は3例ほど挙げてみましたよ~~


 方針1: 因数分解に着目し, a+b が3の倍数かどうかで分けてみる

 と因数分解できるこことはすぐ気付くはずです。
このとき,  と  は共に自然数であることから特に  の正の約数です cutlet.gif

よって,

【1】  が81の倍数
【2】  が3の倍数 かつ  が27の倍数
【3】  が9の倍数 かつ  が9の倍数
【4】  が27の倍数 かつ  が3の倍数
【5】  が81の倍数


の少なくとも1つは成り立たなければいけません。
この5パターンそれぞれについて考察するというのでもいいのですが,
それだと何だか話が長くなって怠いので,
もう少し絞り込みをしてみたいと思います~

まず大きな分類として a+b が3の倍数であるかどうかで分けてみます。
a+b が3の倍数であると仮定しましょう。
a+b=3p (p:自然数) の形に書けますね~

このとき, 
も3の倍数になってしまうことを見抜いてください~

そして更に,これは9の倍数ではないことも見抜いて欲しいのです cat_4.gif


l1_201405022005051eb.jpg
l2_201405022005062b9.jpg

a+b が27の倍数になる場合について考えれば良いことが分かりました。
q=1,2,3,… の場合がありますが,
おそらくは q=1 のときに求める最小値が出てくるんでしょうね~
ってくらいの目星をつけながら後半戦考えてみましょう~

b=27q-a を  に代入して a の2次関数とみなして最小値を考えてみましょう~ kuma_fly.gif



l3_20140502200507bfb.jpg
l4_201405022005070ef.jpg

13と14の組のときは,確かに a と b は3の倍数ではないですね。

一方で, a+b が3の倍数でない場合はどうなるのでしょうか。
実はそのようなパターンは起きないのです~ korobo.gif

 が81の倍数になるためには a+b が3の倍数でなければいけないことを
確かめることが出来ます~


l5_20140502200508a47.jpg



 方針2: (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) に着目し, a+b が27の倍数になることを導く

先程は  の因数分解を考えましたが,
今度は  からスタートします。
仮定から右辺が3の倍数になるために,左辺も3の倍数にならなきゃいけないという流れです kojika.gif

(a+b)^3 が3の倍数であるということは a+b が3の倍数でなければいけません。
a+b が3の倍数であるということは (a+b)^3 が27の倍数でなければいけません。


l6_20140502200508c47.jpg


左辺やら右辺やらが次々3の倍数になるので,
a+b が27の倍数になるところまで考察を続けていきましょう~


l7_20140502200534ccc.jpg



a+b が27の倍数になることがわかったので,
あとは方針1と同じような感じに最小値を求めていきましょう~ kitune.gif



l8_20140502200535659.jpg
l9_2014050220053619c.jpg



 方針3:  a と b を3で割ったときの余りを考える

a と b は3の倍数ではないので,3で割ったときの余りは1か2である必要があります~
そのため, a と b の余りの組は4パターンの可能性が生じるのですが
 が3の倍数になるのはそのうち2パターンに限られてしまいます。
a と b のうち一方が余り1で,もう一方が余り2でなければいけません m_0207.gif


l10a.jpg
l10b.jpg
l11_20140502200537b1f.jpg


これで今回も a+b が27の倍数になることが確かめられました~
あとは方針1,2と同様に最小値を求めていけばいいのですが,
ここでは少し別の発想も考えてみます m_0231.gif

a+b=27p を ab 平面上の直線とみなしてみましょう~ risu.gif


この直線上の点 (a,b) と原点との距離の2乗が a^2+b^2 です。
つまり,原点との距離を最小にすればいいわけです。


l12_201405022005485bd.jpg





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