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2014年京都大学前期入試 理系数学 第6問

2014.05.05 15:07|大学入試問題
どもども。

今回は今年の京大前期入試の第6問です~

問題はこちら~

14k6.jpg




定積分による面積計算の問題です~

双曲線  と原点を中心とする円との第1象限における交点 A,B を考えたとき,
A における  の接線と OA のなす角が  だという状況です~

このようなことが起きる A, B の座標が分からないと面積計算をするステップまで進めません。
まずは何とかして A, B の座標を調べましょう~~


1.jpg


まずは2つの曲線が共に直線 y=x に関して対称になっていることに気付きましょう~ tukushi.gif
このことから交点 A, B も直線 y=x に関して対称になっています。

とりあえずどちらの交点を A とおいても支障は生じないので
x 座標が小さい方を A とおくことにします~

結果から言ってしまうと,接線 ℓ と x 軸の交点を P としたとき,  になっています~
これをどのように導くかというところで方針が分かれそうです


 方針1: △AOP が二等辺三角形であることに着目する

 とおいてみます。  という仮定に着目しなければいけないため,
直線 OA や直線 OP の傾きに注目することがあるかと思うのですが,
よく調べてみると OA の傾きが , OP の傾きが  になっていて,
符号が違うだけになっています~
これが意味するところは, OA と AP は増加か減少かの違いこそあれど,
変化の勢いは同じであるということで, △OAP は AO=AP の二等辺三角形になっています~ zashiki.gif
頂角が  であることから底角が  であることが従います~


m2_20140505021918d22.jpg




この A の座標を求めるまでの部分について別方針を2つ挙げてみます~ xmas_wreathe.gif


 方針2:  と 直線 ℓ の方向ベクトルのなす角に着目して内積を考える

2直線のなす角に関する考察がしたいときのアイデアとして,
ベクトルの単元では内積を使った発想を,
三角関数の単元ではタンジェントと傾きの関係に触れた発想を学ぶと思います~

ここでは内積を使った方針を試してみましょう~ wahakapa.gif


 における,直線 ℓ の下向きの方向ベクトルは  ですね~
この方向ベクトルと  のなす角が  なので,
内積を2通りで表して t に関する方程式を立てて解いてみたいと思います~ whale.gif




m11_20140505021946f0b.jpg

はじめに出てくるのが t^4 というあたりがちょっと面倒ですね。


 方針3: タンジェントを使って考えてみる

今度はタンジェントを使ってみます。
直線 y=px+q と x 軸がなす角を α とおくと, tanα=p
という関係式が成り立つのでしたね~ win_night.gif


m12_2014050502194723a.jpg


必要な部分だけ抜き出してくると上図のようになっています~


m13_2014050502195613b.jpg


こんな具合で t の値が出てきます~~ spaghetti.gif








さて,では後半の面積計算に移りましょう。
この手のよく分からない形の面積は,面積の求めやすい形の足し引きで求めるということがよく行われます、

扇形 OAB から余計な部分を引いてみるという発想をまずやってみます~~ hunayurei.gif
合同な三角形に注意しましょう~~


m3_2014050502191843b.jpg


  m4_201405050219195a4.jpg




今度は,求積したい領域を線分 AB で2つに分けてそれぞれの面積を求めてみます~ hiyob_uru.gif



m8_20140505021945c5c.jpg
m9_20140505021945d75.jpg
m10_20140505021946adf.jpg





極座標を使って表された関数の定積分による面積計算の公式というものがあります~

m5_2014050502191990f.jpg

扇形 OAB から引く余計な部分の面積がこの公式を使って計算できそうです~ hamster_2.gif



m6_201405050219201ce.jpg
m7_20140505021944eaa.jpg


知ってると使いたくなる公式だし,今こそ出番だ!と思ってつい使いたくなる場面ですが,
かえって難しい積分計算をさせられる結果になってしまうようです~




そもそも面倒な足し引きなんか考えないで,  
を計算すればいいだけじゃないかという発想もありますよね。
置換積分を使って,

  



と計算できるので,もう一方の対数の項と合わせて答えが得られます~ dog_happy.gif













           
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