プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

05 | 2017/06 | 07
- - - - 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2014年東北大学前期入試 理系数学 第1問 その1

2014.05.13 16:57|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大前期入試の理系数学第1問を考えてみます~

問題はこちら~

14to1.jpg



2次方程式の解の配置と領域図示に関する問題です~

2次方程式  の解がある範囲に少なくとも1個含まれるような a, b の
条件を考えるという趣旨の問題ですが,その「ある範囲」というのを求めるのが(1)のお仕事です~

今回はこの(1)について考えます~

 における  の値域が x の動く範囲です。

xの表示式の形を見て,「おっ これは相加相乗平均デスネ
と真っ先に閃くのではないかと思います。
もちろんそれを使って最小値を求めようとする試み自体は構わないのですが,
その方針では x の取る値の上限については分からないので結局別のアプローチが必要になります。
そして相加相乗平均の関係を使おうとする人に対して,いやらしい罠が仕込まれているので注意が必要です jyugon.gif


何も考えずに相加相乗平均の関係を使って最小値を求めてみると

を得ると思います~
注意しなければならないのは,この最小値を取るときの t の値が定義域に含まれているかどうかを
しっかり吟味する必要が有ることです~ onegai03t.gif

t>0 なので    のときに最小値を与えるのですが,
1/√3 は 1/2 より大きい値なので t の動ける範囲に入っていません~

このため, x の最小値を 2/√3 としてしまうとアウトですよ~~


というわけで,別の方法を考えてみましょう~~



 方針1:微分を使ってみる

まずは x=x(t) を t の関数だと思って,微分を使って増減を調べてみます~
そうすると x は該当範囲において単調減少であることが分かります~~ ny_kagamimochi.gif


a1_201405131617445fb.jpg


この方針で解くのが一番手っ取り早いでしょうね~
それ以外の方法だと色々ややこしいです。
実際に試してみましょう~



 方針2:関数 y=3t^2-3xt+1 のグラフと t 軸の交点に着目してみる

  を変形すると,    になります~

これを, x を文字定数と思って t に関する2次方程式とみなすことにしましょう~ 8269809.gif
この方程式の解は, t の2次関数  において y=F(t) のグラフと
t 軸との交点の t 座標で与えられますよね。
この t 座標が    に含まれるような交点が少なくとも1個あるような x の範囲を調べる
という発想でこの問題を解くことができます~ 8187095.gif

何だか(2)の問題と似ている気がしますよね。
このあと(2)で使う解法と同じような発想で(1)も解けるということなんですね。

y=F(t) のグラフとt 軸との交点は多くても2個です。
というわけで, t 座標が  に含まれるような交点が
1個のときと2個のときとに分けて考察してみることにしましょう~

まずは1個のときです~
グラフの形状で分類してみます~

重解を持つかどうか, F(0) と F(1/2) の符号はどうかという点に基づいて
以下のように3パターンに分類してみます。

実は x の値によらず F(0)=1 になっているので,2番のパターンは起きないことはすぐ分かります。
実質的には2パターンについて考察することになります。


a2_20140513161744f8e.jpg
a3_201405131617459d7.jpg


同様に2個の場合も考えてみましょう~~ kaeru09.gif



a4_20140513161745bdc.jpg




場合分けなどが必要な流れなので,最初の解法よりも面倒くさいですね。
(2)はこの方法と同じようにやっていくことになります~

さて,(1)に関してもう1個もっと面倒なアプローチをしてみます~ 09(1).gif





 方針2:2次方程式 3t^2-3xt+1=0 の解を具体的に記述して考察してみる


方針1では 「x=~~」 の形に着目しましたが,今度は 「t=~~」 の形に着目します。
方針2で出てきた2次方程式 3t^2-3xt+1=0 の2解 α, β を具体的に記述してみて,
少なくとも一方が    に含まれるための条件を探ってみます。

この方針がめんどくさい理由は,無理不等式と遭遇してしまうからです~ b_body_lazy_20120809140110.gif

2乗して計算する際に同値性に十分配慮してやっていかなきゃならないところがイヤですね~

0<α≦1/2 となる条件をまず求めてみましょう~


a5_20140513161746cd3.jpg

  a6_2014051316174661c.jpg
   a7_2014051316180349a.jpg



同じように 0<β≦1/2 となる条件を考えてみます~~ bakeneko_20120809140145.gif



a8_20140513161804c3c.jpg
a9_20140513161805eae.jpg



なかなか面倒な解法でしたね~~

素直に微分して考えるのがベストのようです~


では次回は(2)を考えてみます~~
(1)と似たような流れになると思います~~






     
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。