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2014年東北大学前期入試 理系数学 第1問 その2

2014.05.20 15:46|大学入試問題
どもども。

前回の続きをやっていきます~



2次方程式の解の配置と領域図示の問題です~~

2次方程式  が,(1)で求めた x の範囲  に少なくとも1個の解を持つような
(a,b) の存在領域を求めるというものですね body_stretch.gif


 方針1: y=f(x) のグラフと x 軸との交点の個数に着目する

2次関数  のグラフと x 軸との交点の個数に着眼して解くのが
一番ベタな解法かなーと思います。
(1)でもそういう解き方をしていましたね。

y=f(x) のグラフが x 軸と  の部分で交わればいいのですが,
そのようなシチュエーションは大雑把に次のような3つに分類できます~ car2_pat.gif

(i)   の範囲に1個,  の範囲に1個

(ii)  の範囲で x 軸と接する

(iii)  の範囲に2個


それぞれについて必要な条件を立てて (a,b)の候補を絞っていきます~



b1_20140520150108e2c.jpg


b2_20140520150109a80.jpg


ちなみに重解を持つときと交点2個の場合は合体させて議論することも可能ですよ~ buta.gif



とりあえず条件は揃ったので,あとは領域図示ですが,
このときに ab 平面上において直線  は
放物線  の接線になっている
ことに注意しましょう~ eto_mi.gif



b4_201405201501100b2.jpg



 方針2: 余事象を考える

「少なくとも~」の問題は,逆にその条件を満たさないものを全体から取り除いてやるという方針で解くと良い
という常套手段がありますね。
この問題においては,敢えてその方針を取るまでもないのですが,
とりあえずその方針も試してみることにします~

つまり, 「y=f(x) のグラフが x 軸と交点を持たない」 または
「y=f(x) のグラフと x 軸の交点が全て  の範囲にある」 

ような条件を求めて,それ以外の部分を図示すればいいというわけですね eto_tatsu.gif



b5_20140520150111df1.jpg



 方針3: f(x)=0 の解を具体的に記述して考える

2次方程式 f(x)=0 の解を具体的に求めてみると,無理式を含んだ面倒な値が出てきます。
この解に着目して議論をすると無理不等式を解くことになったりして基本的に面倒になることが多いです
そのことは(1)でも見てとれると思います~

たまたま(2)の方においてはそれ程面倒な議論にならないので試してみましょう~

この2次方程式の解のうち,大きい方を β としましょう。
 に少なくとも1個の解を持つということは, 
βが実数であり,かつ  が成り立つということと同じことです kaeru_en1.gif


この点に着眼して解いてみます~

b6_20140520150112ec0.jpg
b7_2014052015012313c.jpg












     
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