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2014年東北大学前期入試 理系数学 第2問

2014.05.24 15:24|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大学前期入試の理系数学第2問を考えてみますよ~ 

問題はこちら~

14to2.jpg




空間座標を用いた平行六面体の考察に関する問題ですね~~
平行六面体をある平面で切断したときの切り口について考えていきます~


c1_201405241314299f5.jpg


上図のような平行六面体を考えます~
1つの頂点は原点で, A は x 軸上, C は y 軸上にありますね。
底面 OABC は長方形になっているようです~

このとき,面 DEFG, ABFE, OCGD も長方形になっています~

M は辺 AB の中点, N は辺 DG 上の点で,
MN=4 かつ DN<GN が成り立っているそうです~


(1)は N の座標を求めるものです~
色々なやり方もあるのかもしれませんが,ここでは2通り挙げておきます~

 方針1:  と書けることに着目する

N が辺 DG 上にあるということから, 0≦k≦1 であるような実数 k を使って
 の形で表示できますね~ mushi.gif

 なので,  になります~

このことに着目して,あとは  で立式といったところですかね~ hachi03.gif


c2_20140524131429d93.jpg

c3_20140524131430e12.jpg



 方針2: DG の中点からどれくらい離れてるか調べる

四角形 ABGD も長方形になっていることに着目します~

DG の中点を Q とすると, MQ=AD=BG=√15 になっています~
直角三角形 MNQ に三平方の定理を適用して NQ の長さを求めてみると良いです~ hiyoko(1).gif


c4_2014052413143004e.jpg



さて,(2)に進みます~

3点 E, M, N を通る平面でこの平行六面体を切ったときの断面を考えるのですが,
これは平行四辺形になっています~

頂点 C が y 軸上にあるので,平行四辺形の残りの頂点が求めたい P になっています~ zashiki.gif

ところで,なんとなく「切り口の四角形は平行四辺形になるんだろーなー」とは分かる人は多いと思いますが
ちゃんと理由も説明できますか?

例えば辺 MP, EN はそれぞれ面 OABC と面 DEFG 上にありますが
この2面は平行なので交点を持ちません。
よって平面 EMN 上の2直線 MP, EN も交点を持たないので平行です。
同様に, EM と NP も平行になっているので,2組の対辺がそれぞれ平行になっていることから
説明がつきますね。

c5_20140524131431516.jpg


P の座標の求め方は色々ありますが,とりあえず簡単に3通り挙げておきます~ aomushi02.gif


 方針1:  に着目する

EP が平行四辺形の対角線になっていることからベクトルの和に対応します~

c6_20140524131431227.jpg


 方針2:  に着目する

 であることから攻めてもいいですよね~

c7_201405241314541c7.jpg



 方針3: 長方形 OABC 上で考える

底面 OABC 上での様子に着目します~
DN=1/2 なので, P は辺 OC の中点から C 寄りに 1/2 だけズレた点です~ s2_sum_uchiwa.gif


c8_2014052413145497b.jpg



最後の(3)は切り口の平行四辺形の面積を出す問題です~

 方針1: 内積を利用した三角形の面積公式を使う

平行四辺形は対角線を1本引くと合同な2つの三角形に分割できるので,
一方の面積を求めて2倍すれば答えが出せます~

空間ベクトルの問題でこのような面積計算が出てくると,
ベクトルの内積を利用した面積公式を利用するとやりやすいことが多いですよ~ xmas_hiiragi.gif


c9_20140524131455f44.jpg

 方針2:  底辺×高さ で求める

小学校で習う平行四辺形の面積の公式の基本は, 底辺×高さ だと思います~
MP を底辺とみることにして,高さを求めてみます~

直線MP上に H を取るとき,  が最小のときに  
になることに着目して求めます~ eto_ushi.gif


c10_2014052413145598e.jpg


 方針3: ベクトルの外積を使う

ベクトルの外積  の大きさ  が求める面積であることに着目します~
これは高校数学の範囲外に当たるので,試験でなら検算用ですかね~

ちゃちゃっと求められるので,検算用に覚えておくのは悪くないです~ heart2_shine.gif



c11_201405241314562b8.jpg




とりあえず第2問はこんなとこですかね~~






   
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