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2014年東北大学前期入試 理系数学 第3問

2014.06.25 01:12|大学入試問題
どもども。

最近ちょっと多忙気味で,しばらく間が空いてしまいましたが
今回は今年の東北大前期入試の理系数学第3問です~~

問題はこちら~

14to3.jpg


東北大では鉄板の確率の単元からの問題です~
10個の玉が袋の中に入っているというシチュエーションですよ~
10個の玉にはそれぞれ1個ずつ数字kが書かれていて,
「1」「2」「3」「4」「5」が書かれたものがそれぞれ2個ずつあるという状況です~

(1)は,袋から任意に2個を取り出すのですが,
このときその2個の玉に書かれた数字の積が10になる確率を求める問題です~ 8184765.gif

10=2×5 なので,「2」の玉と「5」の玉を1個ずつ取り出せばよいわけです~
ただし,どちらの玉も2個ずつ袋に入っているのが曲者ですね。
10個の玉を「1a」「2a」「3a」「4a」「5a」「1b」「2b」「3b」「4b」「5b」
のように区別が付けられるように
しておきます~

そうすると,「2a」「2b」の中から1個,「5a」「5b」の中から1個取り出すことを考えれば宜しいです~~

d1_20140624134121d5c.jpg
d2_20140624134121183.jpg



(2)は,玉を4個取り出して,書かれてる数字の積を100にするというものです。
100=2×2×5×5=1×4×5×5より,
・ 「2」の玉2個,「5」の玉2個
・ 「1」の玉1個,「4」の玉1個,「5」の玉2個

の2パターンがあることに気が付かなければいけません~
5の倍数は「5」しかないので,「5」の玉2個は確定なのですが,
2の倍数は「2」「4」の2種類あるため,その点を憂慮しなければならないんですね~ 8190579.gif


d3_20140624134122fad.jpg

(3)は6個の玉を「順に」取り出すようです~
最初の3個の数字の積と,後半3個の数字の積が等しくなる確率ということで,なかなか面倒くさそうです。
(1),(2)と違って,取り出す玉の順序というのも絡んでくる辺りが厄介ですね。
2通りの方法で答えを求めてみます~

 方針1:はじめ3個,後半3個の数字の組合わせの形から分類する

はじめの3個に含まれる数字の組 (a,b,c) と後半3個に含まれる数字の組 <d,e,f> に着目してみます。
この2組が同じときは明らかに積 abc と def は等しいですよね。
この他のパターンが, abc と def が4の倍数になるときは生じます。
 abc と def のうち一方は「2」2個で約数4が作られ,もう一方は「1」1個,「4」1個で約数4が作られます。

d4_20140624134122e35.jpg

(イ)(ウ)の k は3または5に限られることも注意しておきましょう~

さて,まずは(ア)について考えます~
注意点は,どの数字の玉も2個ずつしかないので,a,b,cは全て別々の数字でないといけないこと,
あとは取り出される順番も加味しなければならないということです~ m_0232.gif


d5_20140624134123d6a.jpg

同様に(イ),(ウ)も考えます~
「2」「2」「k」の順列を考えるときは,同じものを含む順列ではなくて,
3個の異なるものを1列に並べると思ってくださいね。
2個の「2」は,「2a」と「2b」に区別されています~ m_0032.gif


d6_20140624134124a17.jpg


 方針2:はじめ3個の積の形から分類する

方針1の中の記述でいうところの積 abc(=def) を p とおいてみます。
この p を素因数分解したものがどのような形になるかで次は分類してみます~

p が含み得る素因数は高々2,3,5の3種類しかないので以下の4パターンについて考えます~

d7_20140624134140650.jpg

(ア) のときは最初の3個の数の組み合わせと後半3個の数の組み合わせは同一で,
共に (3,5,k) ( k は1,2,4のいずれか)の形になっていなきゃいけません~

(イ) は前半3個と後半3個にそれぞれ1個ずつ「3」の玉を含み,
残りは1,2,4のいずれかになっています~

d8_201406241341404bb.jpg


(ウ),(エ)も同様にいきます~~ 16053832(1).gif



d9_2014062413414131d.jpg



計算ミスがとても起きやすそうな問題ですので,
慎重に解いてくださいね~



  
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