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2014年東北大学前期入試 理系数学 第4問

2014.06.29 10:55|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第4問です~

問題はこちら~

14to4.jpg




1次変換に関する問題ですね~~

領域Dは,  を満たす点 (x,y) の全体です。
これは図形的に言えば,2円  と  に挟まれた円環領域です~ cutlet.gif

この領域 D に含まれる任意の三角形 PQR ( P は円  上, 
Q と R は円  上の点)を行列 A が定める1次変換 f で移してやったときに
できあがる三角形 P´Q´R´ が再び領域 D に含まれているための必要十分条件というのがお題ですね。

e1_20140628230548780.jpg


△PQR の取りようなんていくらでもあるので,
どんな選び方しても △P´Q´R´ が Dに含まれるようにするなんてどうしたらいいんだーーー!
ということを,この手の問題に慣れてない人ならついつい思ってしまいます~

この手の問題は実は定番手法というものがあります~

まずはそれを試してみますよ~

 方針1:特殊な点についてそれの移り先が D に含まれる条件から答えの条件を絞っていく

任意の △PQR について条件が成り立つということですから,
手っ取り早く簡単な三角形を試しに選んでみましょう~
P(1,0), Q(2,0) であるようなものを取ることにします~
例えば R(1,√3) として選べば確かにこの △PQR は領域 D に含まれていますね。

このような △PQR も f で移した先は D に含まれていなければいけないので,
特に f(P)∈D かつ f(Q)∈D が成り立たなければいけません cat_4.gif

この条件から  かつ   が得られるのですが,
これはすなわち  を意味しているのに気付けるでしょうか~ dolphin.gif


e2_2014062823054815b.jpg


わずか f((1,0))∈D と f((2,0))∈D の2条件だけで
かなり a, b に関する絞り込みが出来てしまいました。

△PQR の取り方はもっといくらでもあるので,他にも色々特別な取り方をしてみて
この調子でどんどん条件を追加して a, b の絞り込みを行っていけばいいんですが,
今回は実はこの  が既に答えの必要十分条件になってしまっているんです~

現時点では  は a, b の満たすべき条件の1つとして得られているだけなので
単なる必要条件であることしか分かっていません。
あとはこれが十分条件にもなっていることを確かめることが出来れば良いですね~

 が成り立っていればどのように △PQR をとっても移した先の三角形が
D に含まれていることを述べればよいです。
 という条件式からピンときて欲しいのは,  の関係式です~
 を満たす定数 θ をとることが出来ます~

このとき,行列 A は原点中心の角度 θ の回転行列になっています~
ここで領域 D は原点を中心にどのような角度分だけ回転移動しても D とそっくりそのまま重なることに着目すると
確かに △PQR の像は D に含まれています~

e3_201406282305495e1.jpg


 方針2: f が相似変換であることに着目する

A は結果として回転行列になってしまうのですが,はじめに与えられた A の表示式がもう既に
回転行列にとてもよく似ている
ことに着目して解き進める作戦があります。

似てはいますが回転行列と断定するにはまだ条件が足りません。
とりあえず分かるのは, A は回転行列の定数倍になっているということで,
これはすなわち A は任意の点を原点のまわりに回転移動し原点からの距離を何倍かする1次変換を定める
ということになります。つまり相似変換ですね。
ここで相似比が1:1でないと像が D からはみ出ることがあることを根拠にして, 
A がただの回転行列になることを導きます~ eto_hitsuji.gif


e4_20140628230550668.jpg

  e5_201406282305500fd.jpg
e6_20140628230551d7e.jpg


 方針3:任意の点 S∈D に対して f(D)∈D であればよいことに着目する

問題の条件では三角形の像が再び D に含まれることを挙げていますが,
実はD に含まれる任意の点の像が再び D に含まれるという条件と同値だったりします。
そのことをまず確かめてみましょう~ hiyo_face.gif


e7_201406282306174ce.jpg

S を周または内部に含む △PQR(⊂D) の存在を詳しく言おうと思ったら,
S が周上にある場合なんかを想定すると考えやすいかもしれないですね。
直線 OS と D の境界との交点を P, Q として線分 PQ の垂直二等分線と
円  の交点のどちらかを R とでもしておけばよいかと~

e8_201406282306183d8.jpg



あとは任意の点 S∈D に対して f(D)∈D であるための条件を調べれば終了です~ kaeru_ang2.gif
S(x,y) としたときに,  かつ  
が成り立てばよいという話にいきつきます~

e9_20140628230619ecd.jpg

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