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2014年東北大学前期入試 理系数学 第5問

2014.07.05 23:58|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の第5問です~

問題はこちら~

14to5.jpg



漸化式を利用しながら定積分の計算をする問題です~

単純な計算問題なのでサクサクっと終わらせちゃうことにしましょう~ eto_uma.gif

整数 n に対して,  

と定義します~


最終的には,この  を利用して   を求めることが目標です~ eto_tora.gif


まずは(1)では  を計算します~

被積分関数が   になっていることに着目すれば簡単に計算できますね hamster_2.gif


f1_20140705230115d24.jpg

また, 被積分関数が f(sin x)cos x の形になっているという見方をしてもよいです~
このような場合は, sin x=t のように置換してやると上手くいきます。

f2_20140705230116b23.jpg


(2)は  を計算する設問です~
うまい具合に分母の sin x が消えてくれるために簡単に計算ができてしまうという流れになってます。



という変形を求められる場面があります。
第1項,第2項をそれぞれ加法定理を使って分解して整理する手でもいけるし,
あるいは和積の公式を使って変形してもOKですよ~ m_0001.gif


  f3_201407052301173b0.jpg
f4_201407052301177f0.jpg


始めから差を考えるのではなくて,ひたすらに  を変形していってもいいです。

f5_20140705230118a10.jpg


最後の(3)はもはやおまけのようなもので,(2)の関係式を利用して  を計算します~ m_0100.gif
階差数列を利用して数列の一般項を求めるのと同じ原理です。

f6_20140705230118a4c.jpg

ノーヒントで  を求めるのは割と大変だと思うのですが,(2)までの流れがあるとすんなりいきますね。
誘導なしでこの類の定積分の計算が出てきたら,漸化式の利用を検討してみてください~ m_0243.gif





    
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