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2014年東北大学前期入試 理系数学 第6問

2014.08.11 01:47|大学入試問題
どもども。

たまたま多忙な状態が続いておりまして,またしばらく間が空いてしまいました~
もうちょっとの間忙しいかもー
そんな中,今回は今年の東北大前期入試の理系数学第6問を考えてみます~

問題はこちら~ kero.gif

14to6.jpg


微分と級数の問題になっています~
ぱっと見では分かりにくいかもしれませんが,相加平均と相乗平均の関係式がテーマになった問題です~ bakezouri_20120809140203.gif

といっても,最も馴染み深い2個の正数間の関係式ではなく,
一般の n 個の正数に関する相加平均と相乗平均の間の関係式の方です~
具体的にいうと,

n≧2 のとき, n 個の正数  が与えられたとき,



が成り立つというものですね。等号成立条件は  です~ car2_taxi.gif

(2)の不等式は,この関係式において  とおいたものになっています。
したがって,この問題は実質的に相加平均と相乗平均の関係式を証明することが趣旨になっていると
言っても過言ではないです~

この関係式は色々な証明の仕方があります~
ここでは何だかよくわからない形の f(x) を使って証明するような誘導になってはいますが
ちょっとどのように(1)を利用するのかが見えにくい形になっています~

あらかじめ相加平均と相乗平均の関係式の証明の方法を1つ心得ていると,
設問の誘導に上手く乗れなかったとしても何とかその場を切り抜けることが出来るので心強いです buta.gif



さて,まずは(1)を処理してみましょう~
f(x) の極値を求める問題です~
やたら長い関数式ですが, x を含んだ項はよく見ると2つしか無いので
微分すると割とスッキリした形になりますよ~

g1_201408110022526af.jpg


極小値が同時に最小値にもなっていて,その値が0なので
結果として任意の正の実数 x に対して, f(x)≧0 が成り立ちます~
このときの等号成立条件は x=a/n です~

この結果を利用して, n 個の正数に関する相加平均と相乗平均の間の関係式を証明してみましょう~ car2_ambulance.gif


g2_20140811002253ff7.jpg
g3_201408110022543f5.jpg
g4_2014081100225447b.jpg


さて,(1)の結果を使いながら n=k+1 の場合にも主張が正しいことを示したいと思います~
何を a とおき,何を x とおくのかの見極めがポイントですね



とおいてみましょう~~ heart2_glitter.gif

g5_20140811002255b6d.jpg


これで何とか証明が出来ました~
あとは本来の証明すべき不等式を示して終了です~

g6_20140811002255ea2.jpg



という感じになりますかねー hiyo_ang2.gif




ここで,上手く誘導に乗れなくても対処できるように,
相加平均と相乗平均の関係式のベタな証明法を挙げておきます~

なかなか面白い証明の仕方になっています。
帰納法を用いることに関しては今の解法と同様なのですが,
通常の帰納法とちょっと論の展開の仕方が違っています~

通常のスタイルでは n=k の場合で成り立てばその次の番号 n=k+1 でも
主張が成り立つことを導いてドミノ倒しみたいに全ての番号で主張が成立していくというものですね。
ここで大事なのは,最終的に全ての番号での成立が網羅される形であれば
このスタイルにとらわれる必要性はない
ということです kaeru_en4.gif

変種の帰納法としては,「 n≦k の場合で成り立つならば n=k+1 でも主張が成り立つ」とか
「 n=k,k+1 の場合で成り立つならば n=k+2 でも主張が成り立つ」とかの形は割と見かけます。

ここでは,「 n=k の場合で成り立つならば n=2k でも主張が成り立つ」 という結果と
「 n=k の場合で成り立つならば n=k-1 でも主張が成り立つ」という結果の合わせ技を使います~

はじめに n=2 の場合での成立を確かめるとしましょう。
次に,もしも上の第1の結果が証明できたとすれば, n=2,4,6,8,… での成立が言えることになります。
この段階ではまだ全ての2以上の自然数 n に対しては主張成立が示されていません。
しかし,第2の主張が認められれば,任意の2以上の自然数 n に対して,
n よりでかい 2^k から n まで下ってくることが出来ます~

かくて,全ての2以上の自然数 n に対しては主張成立が示されるというわけです~ m_0001.gif



g7_20140811002317b2a.jpg

g8_20140811002317cf1.jpg

g9_20140811002318fd4.jpg


n=k での成立をいうのに n=k+1 の場合の主張を利用するという発想が
何だかとても面白いですよね。

もう1つ,面白い証明法を挙げておきたいと思います~
任意の実数 x に対して,  が成り立つことを利用するものです m_0052.gif
この不等式自体は非常によく見かけるものですよね。
 のマクローリン展開を背景にした評価式です。
微分を使って簡単に証明できますがここでは割愛しておきます~
この不等式をどう上手く使うのかというところがポイントですね。

g10_20140811002318a8f.jpg

なかなかトリッキーな使い方でしたね。

ほかにも,例えば n=3 の場合の証明なら

を利用して証明する方法なんかも非常にお手軽で便利ですよ~ m_0140.gif


に基づくものです。







    
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