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2014年一橋大学前期入試 数学 第1問

2014.08.23 02:12|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大入試の数学第1問を考えてみます~



整数問題です~
素数がテーマの問題になっています。
有効な着眼が出来るかどうかが勝敗を分けそうです~

a,b,c はすべて素数で,しかも a-b-8 と b-c-8 もまた素数にならなきゃいけないというお題です。
正解に辿り着くまでには幾つかの「気付かなければいけないポイント」があります~

早速ですが,はじめの時点でもう a,b,c の大小関係が決まってしまいます。

a-b-8 と b-c-8 はどちらも正でなければならないので,
a-b>0 かつ b-c>0 でなければいけません。
すなわち a>b>c ですね~~ body_walk.gif

更にこの大小関係から分かることがあります。
偶数であるような素数は2しかないので, a,b は確実に奇素数なのです~
そして, (奇数)-(奇数)=(偶数), (偶数)-(偶数)=(偶数) より,
a-b-8 は偶数, すなわち a-b-8=2 であることが確定してしまいます~

ぱっと見で分かることは大体そんなとこでしょうか~
ここからは,少し実験的な考察を交えながら答えに迫っていく必要がありそうです~


h1_20140822163938fef.jpg


(奇数)-(偶数)=(奇数) なので, c が偶数ならば b-c-8 ( =(b-8)-c ) は奇数,
c が奇数ならば b-c-8  は偶数
になります~
現時点では c が偶数なのか奇数なのかを確定する情報は持っていませんね。
どっちなのか分からないから手も足も出ません,というのではなくて,
どっちなのか分からないなら両方の場合を検討してやろーじゃねーか,という気概を持ちましょう~
「もし c が偶数だったら」「もし c が奇数だったら」の2つのシチュエーションについて
両方調べてみることにしましょう~ hiyob_en.gif



まずは「もし c が偶数だったら」というシチュエーションです~
これはすなわち c=2 であるという場合ですね~

値がまだ分かっていないものは, a,b,b-c-8 すなわち b+10,b,b-10 の3つです~
この3つが素数になるような b を見つければ良いことになりますね。
この3つはいずれも正の奇素数でなければいけないので, b-10≧3 より b≧13 でなければいけません。

ここで,次の一手を繰り出すためには,またある重要な点に気付かなければいけません。
いきなり気付くのは大変かもしれないので, b=13,17,19,23,29,31 あたりについて
b±10 の値を調べてみます。

b=13 ⇒ (b-10,b+10)=(3,23) (←条件満たしますね)
b=17 ⇒ (b-10,b+10)=(7,27) 
b=19 ⇒ (b-10,b+10)=(9,29)  
b=23 ⇒ (b-10,b+10)=(13,33) 
b=29 ⇒ (b-10,b+10)=(19,39) 
b=31 ⇒ (b-10,b+10)=(21,41)

どれも,(少なくとも)片方は素数,もう片方は3の倍数になっています。
もしかして,必ずそうなるんじゃないか!? 
このような疑いの目を持ってみることが重要ですね。
ただ,必ず片方は素数になるという推論は残念ながら誤りです。
例えば b=59 ⇒ (b-10,b+10)=(49,69) なんかが反例です。
しかし,必ず片方は3の倍数になるんじゃないだろうかという推論は実は正解です~ kaeru_en2.gif

b≧13 より, b は3の倍数であってはいけません(3の倍数である素数は3のみです)。
したがって, b を3で割ったときの余りは1または2のどちらかになります。
ここでもやはり,両方の場合について考察してみることにしましょう~


h2_20140822163939367.jpg


b=3k+1 型のときは (a,b,c)=(23,13,2) に限られてしまうことが分かりましたね。
b=3k+2 型についても同様に調べてみます~ m_0025.gif


h3_20140822163939bf4.jpg


こちら側はありえないようです~


それでは今度は c が奇数だった場合はどうかという点について調べていきましょう~
先程は c=2 がすぐ確定してしまいましたが,今度は c の値はすぐには分かりません。
その代わりに, b-c-8  が偶数になるため, b-c-8=2 が確定します~ m_0185.gif

値がまだ分かっていないものは, a,b,c すなわち b+10,b,b-10 の3つです~
やはり b±10 が素数になればいいということになっちゃうんですね。
この3つはいずれも正の奇素数でなければいけないので, b≧13 でなければいけないことも同じであり,
b=13 のときのみ条件を満たすことも共通です~ m_0245.gif


h4_20140822163940b11.jpg

h5_201408221639404b2.jpg



そんなわけで無事に正解に辿り着きました。
実験なしで気付けること,実験しながらだと気付きやすいこと両方がポイントに含まれていて
面白い問題だったと思います~
b+10,b,b-10 の3数から3で割った余りに着目するという流れはなかなか気づきにくいですね~ m_0244.gif
b が5の倍数ではないなってことくらいはピンときそうですが,それに気付いたところで
なかなかそれ以上の実のある情報は得られません~

ただ,答案の書き方によっては3で割った余りに着目することが多少見えやすくなることはあります。
それを一つ試してみましょう~

h6_2014082216394110c.jpg

このように, a=2k+9 という形からだと k が3の倍数だとまずいなってことには気付きやすくなりそうですね rabi_shy.gif



h7_20140822163956a16.jpg
h8_2014082216395625b.jpg
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