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2014年一橋大学前期入試 数学 第2問

2014.08.25 21:23|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大入試の数学第2問を考えてみます~




積分を使った面積計算の問題です~

放物線  とその上の点 があり,この点における接線 ℓ を考えて
放物線,接線, x 軸で囲まれる領域の面積 と,
放物線,接線,直線 x=1 で囲まれる領域の面積 の和の最小値を考える問題です~ aicon378.gif


i1_20140825202740e5e.jpg

ちょうど上の図の赤斜線部分の面積が  にあたります~

具体的に  の値を計算で求めて,それを t の関数とみなして微分を駆使して
最小値を求める
というのが標準的な解法になるんじゃないかなーと思います~ aicon_78.gif

どうやって  を計算するかの部分については人によって多少の差異が生じるかもしれません。
律儀に  と  を別々に求めてそれらの和を出すというのも構いませんが,
若干,手数が増えてしまいそうなので,出来ることなら  の値をいっぺんに求められる
手法のほうが何となく嬉しい気がします m_0063.gif

そこでまずは,放物線  と x 軸と直線 x=1 で囲まれた領域の面積から
三角形の面積を1つ引いたものが  になっていることに着目してみます~ aicon_63.gif


i2_201408252027409bf.jpg


C,E の座標もすぐ求められるので,あとは簡単に  の値が出せますね~ 8269809.gif

i3_20140825202741bb5.jpg

ちなみに,  は一定値なので,   の値が最小になるのは 
△CDE の面積が最大になるときだという点に着眼しても構いません~

あとは微分を用いて増減を調べればよいですね~
t の取り得る値の範囲が 0<t<1 であることに注意して最小値を調べましょう~


i4_2014082520274134a.jpg

i5_201408252027424b9.jpg

1つ前の大問と違って,大きく方針に迷う点などはないはずなので何とか答えまで辿り着きたいところです~

さて,  を別々に求めていくとどうなるのかも検証しておくことにしましょう~

まずは  ですが,ベタな求め方を2つほど挙げておくことにすると,
やはり最初の解法みたいに三角形を引く方法や,2つの積分に分けて計算する方法などがあります~ m_0069.gif

i6_2014082520274361a.jpg


 の方は台形を引くか,その分も積分で処理するかすれば良さそうです~

i7_2014082520284059e.jpg

なお,  になっていることを利用してもよいです~
今回はさほどメリットはなさそうですけど~


 を一括で出す方法としては,下図の赤斜線部と青斜線部を合わせた領域の面積が
1本の積分計算で出せる
ことに着目するものなんかもあります~ 8257410.gif


i8_20140825202840643.jpg

i9_20140825202841865.jpg


後半戦は微分を用いて増減を調べるというのが常套手段でしたが,
実は最小値を出すだけなら相加平均と相乗平均の関係式を利用して求めることも可能です~ aicon341.gif

ただし,2正数の間の関係式ではなくて3正数間で成り立つ関係式

の方です~~

最初の解法において,  と求められていたことを思い出しましょう~
これが最大になるときを探ればよいのでした~

 なので,  が成り立つことに注意です。



が成り立つことを利用します~
t を打ち消すために頭に係数2が付けられてることがミソになっています~ kaeru11.gif


i10_2014082520284155d.jpg
i11_2014082520284222b.jpg
i12_20140825202843a31.jpg


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