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2014年一橋大学前期入試 数学 第3問

2014.08.31 18:08|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大入試の数学第3問を考えてみます~



xy 平面上の点どうしの間の写像の問題です~

原点を中心とする単位円上の点 P に対して,
あるルールに則ってこの円上の点 P´ に写すようです~

どういうルールかをみてみます。
点 P における円の接線 ℓ を考え,点 (1,0) を通り ℓ に平行な直線を m とするそうです。
m と円の交点を点 P´ と定めるようですね

ただし, m が直線 x=1 と一致するときは P´ は (1,0) と約束するようです。
これは特段特殊なルールではなく,自然な取り決めですね。

(1) は P(s,t), P´(s´,t´) とおいて,
´,t´ を s,t の多項式で表す設問です~
様々な解き方が考えられそうです~ hiyob_en.gif


j1_20140831153519b57.jpg

 方針1:円の方程式と直線 m の方程式を連立する

P´ は円と直線 m の交点なので,
その座標は円と直線の方程式を組にした連立方程式の解で与えられますよね。
単位円の方程式は  です。
あとは m の方程式を求めるとよいのですが,まずは前段階として ℓ の方程式を考えると
ℓ は円上の点 P(s,t) における接線なので sx+ty=1 と表せます~kaeru_en4.gif
 と書き直して m を点 (1,0) を通る傾き  の直線と捉えて
方程式を求めるというのも良いですが,その場合は t=0 の場合だけ別扱いにして
論じなければいけないので注意が必要です~

その煩わしさを回避するため,ここでは m の方程式を s(x-1)+ty=0 と表しておきます~
(ただし,この場合も後で t=0 か t≠0 かで話を分ける場面が出てきます)

P(s,t) が円上の点であるため  が成り立つことに注意して
連立方程式を解いてみましょう~ m_0034.gif

j2_20140831153519d40.jpg

j3_20140831153520df4.jpg


 方針2:P´ が直線 OP に関する点 (1,0) の対称点であることに着目する

図を見ると分かると思いますが, P´ は直線 OP に関する点 (1,0) の対称点です~
直線に関する対称点の求め方というのはいくつかありますね。
ここの項ではベクトルを用いた解法を選んでみます~
m が直線 x=1 と一致するときも同時に取り扱えるのでベクトルは便利ですね m_0229.gif


j4_20140831153520eca.jpg


 という関係があるため, s´ の表し方は複数あるわけですね。
ほかにも  というものもあります~


 方針3:∠POA=∠POP´ に着目する

はじめの図に戻ってみましょう~
方針2の対称性から分かることですが ∠POA=∠POP´ が成り立っています~
P と P´ が共に円上の点であるため,
P(cosθ,sinθ) とおけば P´(cos2θ,sin2θ) と書けます~ nakioni.gif
この問題ではこの後の(3)では特にですが,この角の間の関係性に気付くことが非常に重要になっています。
はじめから P(cosθ,sinθ) とおいてくれていればまだ気付きやすいものの,
P(s,t) という形で与えるものだから気づきにくい恰好になっています~


j5_2014083115352186b.jpg

はじめに角の間の関係性に気付かなくてもこの答えの値から三角関数の倍角の公式に似ていることに
ピンと来れば上出来です~

(2)は  の場合を具体例にとって操作 T を繰り返す様子を観察することが趣旨になっています。
 の間の関係をを見出しておきたいところです patikapa.gif



j6_20140831153522adb.jpg



以上を踏まえて最後の(3)です~
自然数 n を固定したとき,  が成り立つような P って
実は有限個しかないんです。一体何個あるでしょう?
という問題ですね。

 および 
とおいてみることにしましょう~ risu.gif

このとき,  と  の間の関係式を求めてみましょう~

j7_2014083115354933d.jpg
j8_20140831153552f65.jpg



 という角の範囲の制限に着目すると,  の取り得る値の候補は自ずと絞られてしまいます~



j9_20140831153553243.jpg


角度の関係性に気付けないとなかなか答えをだすのはしんどいですが,
一連の舞台を通常の xy 平面ではなく複素数平面だと思うことによって,
複素数を使った解法も考えることが出来ます~



に着目すると良いです~ tanuki.gif


j10_201408311535530cf.jpg
j11_20140831153554eae.jpg







   
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