プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2014年一橋大学前期入試 数学 第4問

2014.09.02 15:51|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大の数学第4問を考えてみます~



図形と計量の問題に関数の最大・最小を混ぜてきたような問題になってます~

直円錐に半径 1 の球が内接しているというシチュエーションです。
底面の円の半径は r で,これを変数として直円錐の表面積 S の最小値を求めよう
という趣旨の大問になっていますよ~

まず第一におさえておきたいのは,
半径 1 の球が内接できる直円錐には,底面の円の半径に制限があるということです~
具体的にいうと, r>1 でないといけません~ tree02(1).gif

0<r≦1 のときは直円錐が成立しません~

k4_20140902143354be8.jpg


さて,この直円錐と内接球を,底面の円の直径と円錐の頂点を含む平面の1つで切断して
その断面を考えてみましょう。
三角形とその内接円が現れます~

k1_20140902143352dff.jpg

直円錐の表面積の計算をする上で,母線の長さ x が知りたいので
これをどうやって求めるかという問題に直面します。
色々な求め方があると思うのでここでいくつか考えてみたいと思います tawa02.gif



 方針1:△OAH∽△OIC に着目する

相似な直角三角形が幾つか見つかるので,それらの間に成り立つ線分比の関係を使って
立式するという方針がとりあえずベタなところかと思います~

無理方程式が現れるような形になりがちなので,同値変形に注意して変形してくださいね。

k2_20140902143352bf7.jpg
 k3_2014090214335398e.jpg

r>1 なので r^2-1>0 なので r^2-1 で割っても構いません。



 方針2:△OAB=△IOA+△IAB+△IOB に着目する

内接円の半径を求めるときに, △OAB=△IOA+△IAB+△IOB に着目する発想をよく使いますね suika.gif
いまは既に内接円の半径は 1 だと分かっているので,
△OAB の2辺 OA, OB の長さを出すためにこの発想を使ってみましょう~

k7_201409021434241ec.jpg


これで方針1のときと同じ式が現れました。
あとは同様に処理してください~


 方針3:角の二等分線の性質に着目する

無理方程式にならないような解法を考えてみましょう~
I は △OAB の内心なので, ∠OAI=∠HAI が成り立ちます。
このため, AO:AH=OI:HI が成り立ちますね syumai.gif

また,直線 AO, AH は △OAB の内接円の接線になっているので
AC=AH=r です。よって OC=x-r が成り立ちます。
これらのことと三角形の相似関係から立式すると,
はじめから x に関する1次方程式になります~

k8_20140902143424bdf.jpg


 方針4:三角関数の公式を使う

∠OAI=∠HAI が成り立つことを利用した別解法を考えてみます。
∠OAH=2∠IAH だということになるりますね~
cos∠IAH や tan∠IAH などは r だけの式で容易に表せるので,倍角の公式を利用して
cos∠OAH も r だけの式で表せそうです~ sosu.gif
これを利用してみましょう~

k9_20140902143425c35.jpg



それではぼちぼち先へ進みましょう~
母線の長ささえ分かってしまえばあとは表面積の計算は容易です~
底面の円の面積と側面積を足すわけですが,
側面積を考える際は,展開図に現れる扇形の面積として捉えるのが一般的ですね~

下図の扇形 OPQ の面積は 1/2・x・弧PQ で求められます~
弧 PQ の長さは底面の円の円周と等しいことに注意です~ saboten.gif


k5_20140902143354212.jpg


また,扇形の中心角を求めて考えても構いません~~


k6_20140902143355561.jpg



ここからは(2)です~
表面積 S の最小値を求める設問です~

r の分数式になっているのでちょっと厄介ですね。
ここでもいくつかの方針が立てられそうなので,何個か挙げてみることにします~


 方針1:相加平均と相乗平均の関係を使う

分子の方が次数が2だけ大きいので,2次式を分数式から離脱させることが出来ます~
このようなときは相加平均と相乗平均の関係式を使える場合が多々あるので
今回もちょっとそれを検討してみましょう~ piman.gif




となるのですが,このままの状態だとどうも相加平均と相乗平均の関係式は使いづらいですね。
r を含む部分がキレイに約分されるときに有効な結果が得られますからね。
でもちょっと工夫をすれば今回の問題でも有効活用が出来るようになります。



このようにしてしまえば良いのです。

分母に揃えて離脱した2次式の方をいじくってあげるという手はよく使います~ ningyou.gif



k10_201409021434257ed.jpg
k11_20140902143426e3d.jpg

等号成立条件をよく確認して,確かに S=8π となる r が存在するならば
そのとき初めて S の最小値は 8π だと結論づけて良いことになります。
くれぐれも等号成立条件を確認し忘れないようにしましょう~ kusyami01.gif



 方針2:分数関数の微分を用いて増減を調べる

作戦で悩みたくないので S を分数関数とみなして微分を用いて最小値を考察するというのも有効です
ただし,数IIIの知識が必要になるので,文系の生徒はこの方針は使いづらいことでしょう><

計算の簡約化のため 2π を省いてみたり変数変換をしたりしておくことも良いかもしれません。
下の例ではそれを実行しています。

k12_2014090214342626d.jpg



 方針3:2次方程式の解の配置問題に帰着させる

方針2と同様に,簡約化のため  という置き換えをしておきます。
  とおき, k の最小値を調べるため,そもそもの k の取り得る値の範囲を考察してみます。

 と変形できますが,これを t の2次方程式とみなすと良いです。
この方程式が t>1 を満たすような解を持っているための k の条件を求めるという話に移行します katudon.gif

2次関数  のグラフの位置関係について条件式を立てて求めると良いですが,
k の値によらず g(1)=1 であることに着目すると場合分けなどなく処理できます

k13_20140902143438eee.jpg


 方針4:  の2次関数に帰着させる



と書けることに着目します~

 とおくと S の分母は X の2次関数になっていて,
しかもちょっと考察すれば分かりますが常に値が正です。
この分母が最大のときに分子は最小になります~ katorisenko02.gif



k14_20140902143438a4e.jpg
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。