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2014年一橋大学前期入試 数学 第5問

2014.09.17 03:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年の一橋大学入試の数学第5問をやってみます~



確率の問題ですよ~
数直線上の動点の座標がテーマになっているベタな問題ですね。

コインを投げて表が出たら「+1」の移動,裏が出たら原点に関して対称な点に移動というルールです~ akaname.gif

(1)はコインを3回投げて動点Pの行き先が原点になる確率を求める設問です~

コインを3回投げたときの表裏の出方は  (通り) しかありません。
これくらいだと,難しいことを考えずに条件を満たすものを拾い上げてくのが一番簡単だと思います~ bakeneko.gif


l1_201409161603280f4.jpg


(2)はコインを4回投げて  となる確率を求める設問です~

今度は表裏の出方は  (通り) です。
まあ,まだ何とか拾い上げ方式でも対応できそうです~
5回になると32通りもあるのでぼちぼちしんどくなりそうですが~…

l2_20140916160328a24.jpg

16個分も検証するのがめんどくせーーということもあるでしょうし,
(3)に向けての方針立ての考察も兼ねて,もう1つベタなアプローチ方法を挙げてみます。

4回の操作で行き先が点「+1」となるためには,3回目を終えた時点でどこに居るかということが重要です。
4回目で表が出て「+1」に行き着くためには  でなければいけません。
4回目に裏が出て「+1」に行き着くためには  でなければいけません eto_tora.gif

前者については(1)の結果が利用できますね。
後者については(1)の考察と同様に8パターンの中から  となるものを見つけていけばよいです~


l3_20140916160329bca.jpg
l4_201409161603299a3.jpg



さて(3)ですが, n≧3 において  となる確率  を求める設問です~


何に着目するかで解法が変わってきます。ここでは3通りの方針について考察してみます~

 方針1: 確率漸化式を立てて考える

「 n 秒後」 とか 「 n 回目」 とかのキーワードが出てくる確率の問題ではしばしば
漸化式を立てて問題を解くという手段が有用になります~ kudan.gif

今回は  と  の間に成り立つ関係式を求めていきたいと思います~

その際に使うのが先ほど(2)で使った方針と同様の発想です~
(n+1) 回の操作後に点「 (n+1)-3 」にいるという状況が起きるには,
n 回目の操作を終えた時点で点「 n-3 」にいるか点「 2-n 」にいるかの
どちらかでなければいけない
のです~

前者の確率は  を用いて簡単に表せます~
一方,後者の確率については,  を用いずに普通に求めてしまうことができます~
というのも, n 回の操作を終えて点「 2-n 」に行き着くパターンって1通りしかないからです。
点「 2-n 」に到達するには,少なくとも1回は裏が出なければなりませんが,
特に, n 回目までの操作のうちで最後に出る裏はPの座標が n-2 以上の点でのときであることが必要です。
しかし,その座標が n-1 以上の場合, n 回までの操作で点「 2-n 」に辿り着けません。
よって,点「 n-2 」で裏を出して点「 2-n 」に移動する場合に絞って考えればよいのですが,
点「 n-2 」に辿り着くには最短でも (n-2) 回の操作が必要です。
1回目から (n-2) 回目まで表のみが出続けたとすると  になりますが,
この場合  または  になってしまい,どちらの場合でも  になり得ません。
そんなわけで,1回目に裏、その後 (n-2) 回連続で表が出るパターンしかあり得ないってことになるんですね kojika.gif


l5_201409161603302f8.jpg

 型の隣接2項間漸化式が出てきましたが,
これは  と変形して数列  の一般項を考えるか,
もしくは  と変形して数列  の一般項を
階差数列を利用して求めるというのが鉄板ですね~ korobo.gif




 方針2: 表が出た枚数に着目して場合分け

今度は漸化式を立てずに直接に  を求めてみたいと思います~

 であるためには, n 回の操作のうち,
少なくとも (n-3) 回は表が出なければならない
ことに着目します~ kuma_fly.gif

これはつまり,表が出た回数を X とおいたとき, X の取り得る値の候補は
X=n-3, n-2, n-1, n の4パターンしかあり得ない
ということなのです~

それぞれについて場合の数を考察していきましょう~

X=n-3 のときは裏が3回だけ出ることになります。
n 回の移動の中で |X| の値が減ってはいけないので,
裏は1回目と,あとはその後どこかで2回連続で出るというパターンに限られます~

l6_2014091616033071b.jpg
l7_201409161603522b7.jpg



X=n-2 のときはどうでしょうか。裏が2回出る場合です。
実はこのパターンはあり得ません。
それを実証するために, 2回の裏が s 回目と t 回目(ただし s<t )だということにして
具体的に  を n, s, t の式で表して検証してみると良いと思います~ ladybug.gif



l8_20140916160352af9.jpg


残りは X=n-1 と X=n のパターンですね~
前者については,裏が1回出ることになりますが,
その出る場所は2回目に限られてしまいます~
後者については全部表が出るということですから  になってしまいますね~


l9_20140916160353456.jpg
l10_20140916160353fe7.jpg



 方針3: 初めて表が出るのが何回目かに着目して場合分け

方針2でみたように,表の出る回数は (n-3) 回以上という制約があります。
ということは初めて表が出るのが遅くとも4回目でなければいけません~ m_0060.gif


初めての表が Y 回目であるとして,
Y=1,2,3,4 で場合分けして考えます~

Y=1 の場合は1通りに限られます。
全部表だと  になってしまうので最低1回は裏が出なければなりませんが,
裏が出ることが許されるのは2回目の操作のときのみに限られてしまいます。

Y=2 のときは裏が1回目の他に途中どこかで2連続で出なければいけません。

Y=3 は不可能, Y=4 は Y=2 でいうところの連続裏というのが2回目3回目に来ているパターンに相当します

l11_20140916160354047.jpg
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