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2015年センター試験数学1A (旧課程)大問2 と (新課程)大問1前半

2015.02.12 00:08|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター1Aの旧課程大問2および新課程大問1の2次関数の問題を考えてみます~


旧課程と新課程,2次関数の問題は概ね共通です~
若干,旧課程の方は設問の数が多いです。
2次関数の単元内のベタな基礎問題の寄せ集めで構成されている点は例年通りと言えます~




それでは見ていきましょう~ akaname.gif

2次関数 f(x) は  のグラフを x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ
平行移動したグラフに対応する関数として定められています~

一般に曲線 y=F(x) を x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動した曲線の方程式は
y-q=F(x-p) になることが分かっていないといけません~
ただ,2次関数の場合においては頂点がどのように平行移動したかに着目する作戦もあります。

はじめは  のグラフの頂点の座標が問われています~
平方完成しておしまいです~

b1_20150211221725ecb.jpg


平行移動を考えることで,  になるわけですが
次は 2≦x≦4 における f(x) の最大値が f(2) になるための p の条件を求める設問です~

x の変域が制限された場合の最大・最小はグラフを描きながら考えるのが分かりやすくてよいです~ aobara.gif
というか,これに限らず2次関数の単元の問題は「少しでも方針に迷ったらグラフを描いて考える」
てのが鉄則ですけどね!

軸 x=p+1 が変域に含まれるかどうかがキーポイントになります。
含まれていれば頂点のところで最大値を取ってしまいますね。
軸より左側ではグラフは右上がり,右側では右下がりですので
最大値が f(2) と一致するためには軸が x=2 と一致しているか,
もしくは軸が x<2 の部分にあるか,でなければいけません。
つまり p+1≦2 であれば良いことになりますね~

b2_20150211221725a35.jpg


同様に,次の 2≦x≦4 における f(x) の最小値が f(2) になるための p の条件を求める設問を考えてみましょう~

「同様に」とは言いつつも,最大値と最小値の考察に関しては,場合分けの基準点が異なるので注意が必要です~ eto_i.gif
最大値についてはさっき触れたとおり軸が変域に含まれるかどうかが基準なんですが
最小値については軸が変域の中央 x=3 より右にあるか左にあるかに着目しなければいけません~

ちょうど軸が x=3 と一致するときには変域の両端 x=2,4 で最小値を取り,
それよりちょっとでも軸の位置が右になると f(2)<f(4) となり, f(2) が最小値になります~

b3_20150211221726d66.jpg


問われているのが最大値なのか最小値なのかによって発想を変えなければならないということは
しっかり認識しておきましょう~
なお,下に凸の2次関数が考察対象のときは発想が逆になるので気をつけてください~
最小値では軸が変域に含まれるかどうか,最大値では軸が変域の中央より右か左か,に着目しなければいけません~
ややこしいですねーーー


なお,上記の方法が極めて標準的な解法ですが,異なる解法も1つ挙げておきます~

2≦x≦4 において最大値が f(2) になるということは, 



が成り立つということですね。
y=(x-2)(x-2p) のグラフは x 軸と x=2,2p で交わる下に凸の放物線ですが
2≦x≦4 において常に y≧0 となるためには 2p≦2 であればよいので p≦1 が得られます~

一方,最小値が f(2) になるためには (x-2)(x-2p)≦0 が成り立てばいいわけですが
y=(x-2)(x-2p) のグラフについて 2≦x≦4 において常に y≦0 となるためには
2p≧4 であればよいので p≧2 が得られます~



次の設問に進みましょう~ 旧課程限定の設問です~
y=f(x)のグラフが点 (-2,0) を通るとき q を pの式で表します~
x=-2, y=0 を代入すればよいですね。

そのとき, f(x) の式の因数分解も答えなければいけません。
 の形の因数分解を利用すると簡単です~


b4_20150211221726dc4.jpg
b5_20150211221727df8.jpg


たすきがけの方法を使っても良いですね~

b6_2015021122172734a.jpg


そもそも, (-2,0) を通るということは x 軸のとの交点の1つが分かっているということなので,
f(x)=-(x+2)(x-★) の形に因数分解されることははじめから分かります~
軸の位置は x=-2,★ の真ん中を考えて x=(-2+★)/2 で,
これが x=p+1 と等しいので, (-2+★)/2=p+1 より, ★=2p+4
として求めるのもなかなか速いです~ kojika.gif


あとは解の公式を利用して f(x)=0 の解を求めてそれを利用するという手もあります~

b7_201502112218092e1.jpg



さて,最後の設問へ進みましょう~
こちらは新旧共通です~


不等式 f(x)>0 の解が -2<x<3 になるときの p, q の値を求めよ,というお題です。
2次不等式を解くのではなく,先に解が与えられているというパターンなので若干戸惑ったかもしれません~

y=f(x) のグラフと x 軸の交点の x 座標が x=-2,3 であり,
f(x)=-(x+2)(x-3) である場合を考察すれば良いことに気づけるかどうかがポイントです~ korobo.gif

そこまで分かれば,あとは頂点の座標の比較でも恒等式の性質でもなんでもいいので
p と q の値を求めちゃいましょう~

頂点に着目するとこんな感じです~


b8_201502112218104b8.jpg


係数比較を使うとこんな感じです~

b9_201502112218102a7.jpg


なお,旧課程の人は1つ前の設問の解答も利用できます~

y=f(x) のグラフが (-2,0) を通る場合に該当するので
f(x)=-(x+2)(x-2p-4) と表せるので, 2p+4=3 より p が求められます~


f(x)=-(x+2)(x-3) であることに着目しなかった場合,
すなわち無理矢理 f(x)>0 という2次不等式を解こうとした場合は
解の公式を用いて f(x)=0 の解をまず求めねばなりません。
ただその解は無理式になってしまうため処理が少し面倒です~ kudan.gif



b10_20150211221811497.jpg
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コメント

No title

2次関数は良問だと解いていて感じました。
読売のリンクは例年、気がついたら消えてしまうので注意が必要です。
色付きのカエルが可愛いですね。へびーん。

No title

>CHIさん

コメントありがとうございます~

今年の2次関数の問題は2次不等式の問題が好きですね。
解が与えられるパターン。参考書にはよく載ってはいる問題ですが,
あまり頻繁に出てくるパターンでもないので戸惑った人も多そうです~

読売のリンクは消えちゃいますよねー
それに限らず過去記事でもリンク切れしてるのが結構あります><
旧課程の問題はあまり長期間残ってるところ少ないんですよねー
問題そのものを貼り付けてもいいんですけど
一応著作権的なものとか気にしてここのところしばらくはリンクだけ貼り付けて済ましてます~

へび~~ん
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