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2015年センター試験数学1A (新課程)大問2後半

2015.02.16 02:46|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター1Aの新課程大問2の後半の三角比の問題を考えてみます~



新課程では「三角比」からの出題はこの部分だけになっています~
一応,選択問題で「図形の性質」の問題もありますが,場合の数と整数を選んだ場合は図形はここだけになります。

旧課程では「三角比」+「図形の性質」の融合で1大問独立してたので,
図形が苦手な人にとっては新課程版の出題のされ方は解きやすく感じるかもしれないです。
1大問の半分なので設問数が少ないだけでなくあまり複雑な問題にもならなさそうですしね~


さて,まず序盤は3辺の長さが3,7,5の三角形に関する考察です~
3辺の比が  の直角三角形や,  の直角二等辺三角形はおなじみすぎますが,
3:7:5 の鈍角三角形も実は結構この単元では登場率が高いです~ eto_ushi.gif

なぜかというと,鈍角の大きさが120°になっているからです~
3辺の比が整数比になっていてなおかつ有名角が出てきて,そんでもって二等辺三角形でも直角三角形でもない
ということで,問題を作る側としては非常に使いやすい三角形です。
なお,旧課程1Aの大問3にもこの三角形が出てきます。


多くの場合,3辺の長さ3,5,7を与えて120°という角度を答えさせるんですが,
今回は長さ7を求めさせる設問になっています~
予備知識があれば一切計算せずに瞬殺できますね

sin C の値は先に cos C の値を余弦定理を使って出しておいてから
三角比の相互関係を利用して求めることができます~

 の類の計算では下の例のように  型の計算過程になることが多いですが,
X と Y にあたる数字がやたらとでかい場合は因数分解を利用すると効率が良いことがしばしばあります。
196-169くらいなら特に大した計算でもないのでそのまんまやっても気苦労はありませんが~


c1_20150216011902829.jpg

cos を経由するのが面倒だというなら,以下のように3辺の比が  の直角三角形ABHを作りだして
直角三角形ACHにおいて   から求めるという手もあります~ isona.gif


c2_20150216011903454.jpg



△ABC の面積を2通りに表して,  
を解くという方法なんかもあります~ kaeru_en4.gif




後半の設問を考えてみましょう~
下図のように  となる点Dをとってみます~
線分BD上にPをとって△APCの外接円の半径 R を考えるのですが,
Pの位置によって△APCの大きさが変わってくるため, R の値もそれに応じて変動します。
R の値の取り得る範囲を求める問題です~

外接円半径を求め方としては,正弦定理を用いるのが一番ベタですね
△APCに正弦定理を適用することで, 

が得られますが,3つのうちどの辺と角のペアに着目するか悩みますね。

こういうときは辺の長さか sin の値か,一方が固定化されて変動しないものを選ぶべきです~ m_0001.gif
 は分母・分子両方が変動するため考察しにくいので却下です~
 のうちどちらかを利用しましょう~

まずは前者でいきます~
sin C の値が固定なので, AP が最も長いときに R は最大,最も短いときに R は最小です~ korobo.gif
最も短くなるのは AP⊥CD のときであることは簡単ですが,最も長くなるのはどんなときでしょうか。
△APH に着目して,  であって, AH の長さは固定なので, 
PH が最も長くなるときを考えれば良いことになります~


c3_201502160119038e9.jpg

  c4_20150216011904625.jpg


AP の長さが最短・最長になるときを図形的考察から見い出しましたが,
計量的に求めることも出来ます~
例えば, BD=x とおいて,APの長さを x の関数にしてしまうことが出来ます~
あとは2次関数の知識で処理できます~


c6_20150216011905f46.jpg




では次に,  に着目してこの問題を解いてみましょう~
今度は AC の長さが固定で,また sin∠APC>0 なので, sin∠APC の値が最小のときに R は最大,
最大のときに R の値は最小です~

∠APC=90° のときに sin∠APC(=1) は最大,
PがHから離れるほど ∠APC の大きさは小さくなるのでPHが最も長いときに sin∠APC の値は最小です。

c5_201502160119045fc.jpg





ところで,外接円半径を求める方法としては,三角形の面積に着目する方法もそういえばありますね。
 の形の公式は見覚えありますか?
△APC にこれを適用してみる手もあります。最後にこれを試してみましょう~m_0100.gif

BP=x とおいてみます。 △APC の3辺の長さ及び面積は x を用いれば全て表すことが出来ます。


c7_20150216011919e0d.jpg

上の流れでは PH の長さの部分で場合分けしていますが,  
とさらっと済ましてしまうことも出来ます。


c8_20150216011920d3e.jpg
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