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2015年センター試験数学1A (旧課程)大問3

2015.02.21 23:37|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター1A旧課程の大問3を見てみます~


「三角比」+「図形の性質」の問題です~
新課程では「図形の性質」は選択問題になったため,この融合形式の出題は一旦これが最後になりました~

極端に考えにくいという設問はなく,取り組みやすかったのではないかと思います~

はじめは△ABCについて, cos C と sin C の値をそれぞれ求めます~
3辺の長さが分かっているので,余弦定理を用いるのが無難でしょう~
C=60° と分かるので,三角比の相互関係などを持ち出すまでもなく sin C の値は分かります。

△ABCの外接円の半径も問われています。
sin C の値も求めてあることですし,正弦定理を使って求めておくと良いと思います~

外接円半径を用いた三角形の面積の公式を利用することも可能です。

また,正弦定理を導く手法であった三角形の相似を用いた解法もあります。


d1_201502212137117de.jpg

d2_2015022121371146d.jpg


次は,はじめの図の斜線部分の面積を求める設問です~
△ABCの外心をOとして,扇形OABの面積から△OABの面積を引けばよいです~ s2_sum_hotaru.gif
∠C=60° だったので,扇形OABの中心角はその2倍の120°です。
よって,円全体の面積の1/3として扇形の面積が計算できます~
(弧の長さ)×(半径)×1/2 で求めても構いません~

d3_201502212137125ed.jpg


ここから図形が少し複雑になってきます~
辺BCをCの側に延長して CD=5 となる点Dを取ります~
このときADの長さを出せという設問ですが,
∠ACD=120°,CA=3,CD=5 ですので,これは前回に触れた3辺の比が3:7:5の鈍角三角形です~
よく出てくるよ~ と言ったそばから早速出てきました。
それに気づけば何も計算せずに AD=7 と求めてしまうことが出来ます~ xmas_tonakai.gif

気付けなかったとしても△ACDに余弦定理を使って一瞬なので大丈夫です~

d4_20150221213713843.jpg

△ABDに余弦定理を使ってADを求めるという方針でもいいですね~
その場合は一旦 cos B を求めるという過程を挟まなければいけないですが~

d5_201502212137136de.jpg
d6_2015022121371414f.jpg


また,Aから辺BCへ垂線AQを下すと,内角が30°,60°,90°の直角三角形ACQが現れるので
それを利用すると高校の知識を用いずしてADの長さを出すことが出来ます~ xmas_winebottle.gif



d7_2015022121374617b.jpg


さて次は△ACDの外接円を考えます~
図を描く際,この円が大きくてスペースが足りないなあと思ったら,円を一部だけ描くのが有効です。
直線ABとこの円の交点のうち,Aじゃない方をEとして,線分AEの長さを求めるのが次の設問です~

方べきの定理の出番ですね。
BA・BE=BC・BD が成り立ちます~ aicon_bbs17.gif

なお,方べきの定理ってのは結局のところ相似な三角形の辺の比の関係式なので,
方べきの定理の発想が浮かばなくても△ABC∽△DBE に着目して 
BA・BE=BC・BD を導いても良いですね。 

d8_201502212137473b7.jpg

この相似関係を用いない方法も考えてみましょう~
DからBEに垂線DHを下してみます。2つの直角三角形BDH,EDHに着目する手があります。
特に ∠ACD+∠E=180° から ∠E=60°であることが分かるので
△EDHは内角が30°,60°,90°の直角三角形になっています。

d9_201502212137478b8.jpg


次の設問に進みましょう~
△ABCと△EBDの面積比を求める問題ですね。
いくつか考え方がありそうです。

まずは三角形の相似に着目してみます~
△ABC∽△DBE であることはさっき触れました。
その相似比は  です。相似な図形の面積比は相似比の2乗という性質を使うことが出来ます~ aicon_bbs20.gif


d10_20150221213748144.jpg


今度は底辺分割の原理に着目してみます~
高さの等しい2つの三角形の面積比は底辺の長さの比と一致してしまうというおなじみのアレですね b-drive.gif

d11_201502212137480d4.jpg


相似とか底辺分割とかテクニカルなことを考えずに,シンプルに面積公式に当てはめちゃえばいいじゃん kinkan.gif
ていう発想もあながち馬鹿には出来ません~
結構簡単に答えが出てしまいます~~


d12_20150221213749169.jpg



それでは最後の設問です~
△BDEの重心をGとして線分DGの長さを求めてくれというものです~

唐突に重心が出てきました。
重心といえば3本の中線の交点ですから,とりあえず中線でも引いてみるべきだろうと考えるかと思います。
そうすると,よく見たら BA=AE なのでAが線分BEの中点になっていることに気が付きます。
てことは線分DAはもともと中線だったんですね~

重心の性質として, DG:GA=2:1 というのがあります。
ADの長さは既に7だと分かっているのでもはやDGの長さを出すのは楽勝です~ jyugon.gif


d13_20150221213803e1a.jpg


三角形の五心,どれがどれだか混同してしまったり,中線の交点であるということを忘れてしまったり
DG:GA=2:1 の性質を忘れてしまったり,そういう困った人でも,
重心の座標とか位置ベクトルの公式だけはなぜか覚えているという場合がたまにあります。
1Aの範囲ではないですがベクトルを使って強行突破というのも悪くないですね nezumi02.gif



d14_201502212138038f0.jpg






    
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