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2015年センター試験数学1A (新課程)大問5

2015.03.15 03:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター1Aの新課程の方の大問5を見てみましょー




新課程で追加された「整数の性質」の単元からの出題です~
とはいっても整数問題はこれまでも入試ではおなじみですよね。
その気になればいくらでもムズい問題が出せる分野ではあり怖いですが
今回は1年目ということで,大きな冒険はしてこないだろうと思っていたので
まぁ予想通り無難な問題だったと思います~ senpuki04.gif

 が11で割って1余る整数になるための条件を探る,特にそういう整数で最小のものを求める
というのが大きなテーマで,  が整数になる条件や,1次不定方程式に関する出題がされています~

はじめは a=756 の素因数分解です。
これはまぁ特に問題はないでしょう~



ですね~
ついでに a の正の約数の個数を聞かれています。 a の正の約数というのは,いわば

 (0≦A≦2,0≦B≦3,0≦C≦1)

の形で表される整数のことですので,そのような整数がいくつあるか?という問題は
場合の数の計算に帰着されてしまいます~ saboten.gif

f1_201503150122037e4.jpg


次は  が自然数になる最小の自然数 m を見つける設問です~
am が平方数になれば良いということですね。
am を素因数分解したときに,どの素因数も偶数乗になっていればよいです~ oukan.gif
a は2,3,7を素因数として持っていますが,最小の m を考える際には5や11など
2,3,7以外の素因数を持つ可能性は排除してよいです~
無駄に m が大きくなってしまいますね。

f2_201503150122038b4.jpg


 が  の形の最小の自然数になるので,より一般に  (k:自然数) のときに 
 は自然数になるということが分かりました~


f3_201503150122044b9.jpg



さて,  が11で割って1余る整数になる条件を考えてみましょう~

   (ℓ:非負整数)

の形で表されなければいけませんね~
これまでの考察で  が自然数になるのは  のときで, 
 と書き表せることが分かっているので, 



すなわち 

という1次不定方程式を考えると良さそうです~
一旦,この不定方程式の一般解を考えてみることにしましょう~ milk.gif

定番手法としては何でもいいからこの方程式を満たす k と ℓ の組を1つ見つけて
(例えばそれを (k,ℓ)=(α,β) とする),
126k-11ℓ=1=126α-11β ⇔ 126(k-α)=11(ℓ-β)
のように変形するんですよねー
126(k-α) と 11(ℓ-β) はともに整数で,126と11が互いに素であることから
126(k-α)=11(ℓ-β)=p であるとすると,
k-α=11p かつ ℓ-β=126p
∴ k=11p+α, ℓ=126p+β 
p を動かすことによって一般解が得られるということでした~ kinoko05.gif

というわけで何でもいいから解を1組見つけたいんですが,
係数が126と11,やや大きめであるため,ちょっと手こずりそうです。
何かしらの工夫があると良さそうです~

そこで工夫の例をいくつか考えてみましょう~

工夫例1: 不定方程式 5x+11y=1 に帰着させる



なので, 11^2k の項は 11ℓ の方に組み込んでしまうと,



になります~
x=k, y=11k-ℓ と思うと,不定方程式 5x+11y=1 を解く問題にすり替わってしまいました katudon.gif
これくらいなら解の例を見つけるのが割と簡単です~

結果として, k=11p-2, ℓ=126p-23 というのが出てくるのですが,
設問としては k>0 である最小の解の組を求める必要があるので,
p=1の場合を考えると良いです~

f4_20150315012204dfb.jpg


工夫例2: ユークリッドの互除法を使う

教科書的な工夫例としては互除法を用いるものになるでしょう~
今回は互除法自体それほどステップ数は多くないですし,計算も手間ではないです~

f6_20150315012205fe8.jpg

(k,ℓ)=(-2,-23) という組が見つかりましたね


工夫例3: 126×1-11×11=5 をいじってみる

126×1-11×11=5 などの式を起点にして解の組を見つけてみましょう~
両辺を2倍すると右辺は10になり,これは 11-1 と変形できます。
11を左辺に移項すると,右辺は-1だけが残ります。
ということはここで両辺を-1倍すると右辺は1になりますね~~
このように,右辺が1になるように等式をいじくりまわすというわけです~ kashiwamochi03.gif

f5_20150315012205c1f.jpg


工夫例4: 合同式を使ってみる

合同式の性質を知っているなら,それを使ってみるのも悪くないです~

例えば以下のように mod 11 のもとで考えていくと, 11ℓ≡0 のおかげで
方程式は k のみを含むようになり,簡単に k≡-2 に辿り着けます~

f7_2015031501222876e.jpg


工夫例5: そもそも一般解を求めようということをしない

この不定方程式,を等式として ℓ について解けば 



になります~ k=1,2,3,4,… と代入していって最初に ℓ が整数になるのはいつであるかを
探るという作戦もあったりします~
k に代入していくというよりかは,5k-1=11,22,33,44,…として順に調べていくほうが手間は少なく済みます~

f8_201503150122293a3.jpg






では最後の設問に進みましょう~
当初の目的であった  の形の自然数で,しかも11で割って1余るものの最小値を考えます。
126k の最小値を考えることに当たるので上で求めた k の最小値を使う,とみてもいいし
 とおいていたのだから ℓの最小値を考えると思ってもいいですね。

f9_20150315012229cfb.jpg
  f10_20150315012230190.jpg


今年は不定方程式あたりが出題されたわけですが,
そのうち n 進法なんかも出題されるんでしょうか~
もっと変わり種みたいな問題も出てくるんでしょうか~
来年以降に注目です~ katorisenko02.gif




   
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