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2015年センター試験数学1A (新課程)大問6

2015.03.16 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター1Aの新課程の方の大問6をみてみます~




「図形の性質」の単元からの出題です~
去年までは三角比との融合問題になっていたために強制的に幾何の問題を解かされたわけですが
新課程になり選択問題に舞い戻りました~
難易度も決して高くなく取り組みやすかったです。たまに妙に解きにくい問題とかあったりしますよね。

図形の性質の単元の知識のみならず,三角比,三角関数,中学校の図形の知識,ベクトル,座標など
図形に関して知ってるすべてを使って解答できるため様々な別解を考えやすいのが幾何の問題の特徴で,
「図形の性質」の単元自体が苦手でも三角比やベクトルや座標の導入などでゴリ押して解くことも可能なため
なるべく諦めずに粘りたいですね~

まずは図を描くところからスタートです~
g1_20150315180638179.jpg

△ABCは二等辺三角形です~
辺AC上に AD=3 となるDを取って,△ABDの外接円と直線BCの交点でBじゃない方をEとするようです。

まずはBEの長さを求めたいようです~
CE・CB の値を答える誘導がついているため,方べきの定理を使えばいいと気付きやすいです aobara.gif
CE・CB=CA・CD が成り立つことを利用しましょう~

なおこの関係式は △ACE∽△BCD から得られる線分比の関係式に過ぎないので,
方べきの定理の利用が思い浮かばなくてもこの相似関係に気付ければ問題はありません~

g2_201503151806395e1.jpg



ちょっと問題文を読み進めてみると,円周角の定理から ∠CAB=∠CAD が成り立つ
というヒントが与えられています~
このことから △ABC∽△EDC が成り立ちます~
そこで得られる線分比の関係式として CE・CB=CA・CD を得ることも出来ますね。

もちろん,方べきの定理や相似による線分比の関係に気付けなくてもいくらでも逃げ道があります~
いま問題文の先読みをしたみたいに,この大問は必ずしも設問の順序に従って解答しなくても
空所を埋めていけるタイプの問題になっています~ kaeru_en1.gif
△ABC∽△EDC であるということは△EDCもまたEC=EDの二等辺三角形になっていることです。
CEの長さが分かればこの時点でもう,少し先にあるDEの長さを求める設問に答えることができますし,
CE=DE=x とおいてこの2つを同時に求めてしまうことも出来ます。
誘導上は CE・CB の値を求めることでCE,BEの長さを求めることになっていますが,
これらの長さを出した後に CE・CB の値を計算してもよいですね。 

例えば三角比を使ってみましょう~
余弦定理を使う方針,正弦定理を使う方針をそれぞれ考えてみます~  
先に cos C の値を求めて,△EDCに余弦定理を用いてみます。

g4_20150315180639a82.jpg
g5_201503151806409ac.jpg



正弦定理を使う方針なら,△ECDあたりに適用するのが良いでしょう~
sin の値は前もって先程と同様に△ABCや△ACHなどに着目して計算しておくといいですね。

g6_2015031518064129b.jpg


次の設問を見てみましょう~
△AECの重心Gに関して,AGの長さを求めるものです~
似たような問題が旧課程の図形の問題にもありましたね~
似たのを出すことで新旧での難易差を小さくする狙いですかね。

三角形の重心というのは3本の中線の交点でした m_0034.gif
ちょうどBが辺CEの中点になっているので線分ABはまさに中線の1つです。
また重心の性質として,AG:GB=2:1になっているというものがありました。
ここまで分かればAGの長さはもう簡単ですね。

g7_20150315180713b77.jpg

重心に関しては,座標や位置ベクトルのあたりでも公式が出てきました。
3本の中線の交点であることや AG:GB=2:1 などの性質を思い出せなくても
ベクトルでやっつけることが出来ます。

g8_20150315180713560.jpg
g9_20150315180713885.jpg



次の設問以降は,比 DP/EP, DEの長さ,EPの長さの3つを求めるものになっています~
解法によっては既にDEの長さは求められていたりしますね。
どのような方針で攻めるかによってこれら3つも求める順番が変わってきたりします~
どれか2つが分かれば残り1つもすぐ分かります~


素直に「図形の性質」の内容に絡めていくならばメネラウスの定理の出番といったところですかね~
メネラウスを使うときはどの三角形と直線に着目するかきちんと決めて立式を誤らないようにしましょう~ m_0054.gif
ここでは△ECDと直線ABに着目するのが良さそうです~

g10_201503151807149eb.jpg

△ABCと直線DEに着目した場合, DP:EP ではなく AP:BP が分かりますが,
この比の値と △APD∽△EPB から得られる線分比の関係式を使うと DP:EP より先にEPの長さが求められます。


g11_20150315180714cc3.jpg

また,DE= が既知だとすると, AP:BP の値と方べきの定理より得られる EP・PD=AP・PB の関係式から
EPの長さを考えることも出来ますね。
EP=x とおいて立式するとよいでしょう~
このとき x の2次方程式ができてそれを解くと x の値が2つ出てきます。
これは DP=x とおいても同じ2次方程式ができるからで,2つ出てきた x の値のうち
一方はEP,もう一方はDPの長さになっています~
何かしらの根拠を持ってどちらがEPの長さなのか見定めなければいけません。
例えば,DEの中点をMとすると BM//DC となることから∠MBCが鋭角になることが分かりますが,
一方で∠PBEは鈍角です。このことからPはEよりDに近い側にあることが分かります~ m_0055.gif

g12_20150315180715a3f.jpg
g13_20150315180743435.jpg



今度は中学生式に解いてみましょう~
補助線を引いて平行線と線分の比の関係が使えるようにしてみます~
補助線の引き方は何通りかありますが,例えばBを通りDEと平行な直線を考えてみましょう~


g16_20150315180745593.jpg



次は面積比を使ってみましょう~
自分がいつも対角線分割と呼んでいる手法を用います。
端的に言えば, DP:EP=△ABD:△ABE が成り立つことを利用します~ m_0101.gif
底辺分割の原理と合わせてこの面積比を求めます~


g14_20150315180744f7f.jpg



またこの手の線分比の問題はベクトルでもおなじみです~
ということはベクトルを用いて解答することも出来ますね~


g15_2015031518074494c.jpg



三角比を用いたアプローチがまだでした。
前半部分で sin C の値を求めてたりすると,それを利用して△BEPあたりに正弦定理を使って
EPの長さが出せたりします~
以下の例では3倍角の公式や sin(-θ)=-sinθ の性質も用いています。


g17_20150315180745555.jpg
g18_20150315180746a3e.jpg


長くなってきたのでここらで一旦終結としますが,
ほかにも座標の導入(やや面倒),加重平均を用いた手法(簡単)なんかもあります~ m_0194.gif





    
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