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2015年センター試験数学2B 大問1

2015.03.21 12:30|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター2Bの大問1を見てみます~


今年の2Bはちょっと平均点が低めですね~
現役生に関しては39点台とかでしたね。
既卒生は約5割ってトコでした。

問題開いていきなり 7θ なんてのが目に入って動揺してしまったんでしょうか~
ということで,その大問1を見ていきたいと思います~
前半は三角関数・図形と方程式あたりの問題ですが,ベクトルなんかの考え方も結構利用できたりして
図形の総合問題としてなかなか良い問題な気はしますが,
そのせいで無駄に時間を取られてしまった人も多いかもしれません。
後半は指数・対数の分野からの出題ですが対数は出てきません。
与えられた連立方程式が勘違いを起こしやすい形をしているため注意が要ります~

さて,まずは前半です~
P(2cosθ,2sinθ),Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ) という点が与えられています。
ついでなので R(cos7θ,sin7θ) という点も導入しておきましょう。
P は原点を中心とする半径2の円周上の点であり,
R は原点を中心とする半径1の円周上の点です。
Q はちょうど  を満たしています~
つまり,四角形ORQPは平行四辺形になっています~ yotuba13.gif
(この4点が一直線上にある場合があるので注意です)


h1_20150317231524478.jpg


・・・といったあたりのことを念頭に置いておきましょう~
7θ という普段あまり見慣れない角が出てきますが,決して怖いものではありません。
これを見て「えっ7倍角の計算とかしなきゃいけないの!?計算死ぬよ!?」
とか思っちゃった人はアウトです~
cos7θ や sin7θ を cosθ や sinθ の式で表すような場面は出てこないですし
それをしたところで空所補充がなかなか出来ません。
誘導の流れを正しく読めるかどうかが勝負の分かれ目ですね。
7θではなくて,いっそ100θくらいだったりしたらさすがに加法定理で細かくしていこうという発想は
出てこないと思うのですが,中途半端な7θくらいだと良からぬ方針を選んでしまうこともあるのかもしれません。

はじめはOPとPQの長さを求める設問です~
OP=2 は問題ないでしょう。
PQに関しては上図から分かるように  に着目すればいいですね。
普通に2点間の距離の公式から考えても特に労はないです。


h2_20150317231524a66.jpg


 を計算して簡単な形に整理するのが次の設問です~
2点間の距離を公式を使って(ベクトルでもいいです)計算します。

cos7θcosθ+sin7θsinθ という固まりをどう処理するかが問題です~
早い話,加法定理を使うんですが,その発想が思いつくでしょうか~
cos(α-β) を加法定理を使って cosαcosβ+sinαsinβ の形に崩す,という作業の練習は
よく行われているとは思うのですが,逆の操作って割と慣れてなかったりする人が多いのではないでしょうか~
つまり, cosαcosβ+sinαsinβ の形の式を cos(α-β) に直すという操作です~ kaeru_en1.gif
この逆の操作というのは,聞き慣れた表現で言えば「三角関数の合成」です。
2cosα+3sinα のような式だと「あ!合成でいける!」とかピンとくるのかもしれないですが
この係数の「2」とか「3」の部分が「cosβ」「sinβ」とかだったりすると合成でいけるという形に
気付けなくなってしまいがちです hunayurei.gif

h3_20150317231525ba4.jpg



わざわざこのような形に変形したのは以降の設問を解答しやすくするためです。
次の設問はOQの長さの最大値を求めるものです~

もはや cos6θ の最大値を考えれば解決しますよね。
 という制限があることに注意して最大値を求めましょう~ insect_kabuto_m.gif




h4_2015031723152500d.jpg


次は3点O,P,Qが同一直線上にあるための条件を考えます~
そのためのヒントとして,はじめに直線OPの方程式を求める設問があります~

原点を通る直線で,しかも θ の範囲から y 軸と平行でもないことも分かるので
いわゆる比例のグラフになりますね。そんなわけで傾きは簡単に求められます。
直線OPと x 軸の正方向のなす角が θ であることから傾きが tanθ であるとする求め方もアリですね。



h5_20150317231526d28.jpg



ax+by=c の形で方程式を求めさせているので,法線ベクトルを利用するのも良いかと思います~
直線OPの方向ベクトルの1つは (cosθ,sinθ) なので
法線ベクトルとして例えば (sinθ,-cosθ) を取ってくることが出来ます~ hiyos.gif
成分をひっくり返して片方の符号を替えればいいですよね。
そうすると内積を取ったとき0になるからです~

法線ベクトルと内積を用いて直線OPのベクトル方程式を作ってみるとよいです~


h6_2015031723152642f.jpg


ベクトル方程式を求めるという方針からだと
直線OPの方向ベクトル (cosθ,sinθ) を使ってパラメータ表示を作る方法もありますね~~
最後にパラメータを消去すればよいです~


h7_20150317231559807.jpg



さて,直線OPの方程式を用いてO,P,Qが一直線上にあるための条件を考えます。
Qが直線OP上にあればよいので,Qの座標を方程式に代入してみましょう~ m_0028.gif

なお,ここの計算でも加法定理を用います~


h8_2015031723160045c.jpg


実は図を使って考えるとこのような面倒な計算もせずに解決できたりします~
O,P,Qが同一直線上にあるということはO,P,Rが同一直線上にあることに換言できます。
 のなす角は 7θ-θ=6θ です~
θの範囲が広くないので 6θ の値の候補は π に限られます m_0025.gif


h9_20150317231600b87.jpg


 が平行になるという点に着目した解答もできます~

一般に  が平行になるための条件としては例えば 
 がありますね


h10_201503172316016d8.jpg


 となる実数kがあることに着目してもいいです~
両辺の大きさを考えて  が出てくるので,それぞれについてθの値を考察してみましょう~


h11_20150317231601309.jpg


h12_201503172316023c3.jpg



最後に ∠OQP が直角になるための条件を考えます~
これもいくつかアプローチの仕方があるんじゃないかと思います。

やはり図を使って考えると話が楽ですね。
OP=2,PQ=1 が分かっているので,直角三角形OPQは内角が30°,60°,90°のタイプのものに
なるので,  と分かります~ m_0232.gif

これで OQ の長さを2通りで表せたことになるのでθに関する方程式が立てられます~


h13_20150317231639c43.jpg


上図のような位置関係に気付けば,  のなす角 6θ の大きさが 4π/3 であればよいことが分かるので,
その点に着目してもいいですね


h14_201503172316395bc.jpg


直角になるという条件から,「内積=0」とか「傾きの積が-1」あたりのことを想起することも出来ますね。


h16_20150317231640504.jpg

三平方の定理を使って立式,なんていう方法もありますね~

h15_20150317231640da0.jpg


今回は挙げませんでしたが,複素数平面の知識を利用するという手もあります~





それでは後半の問題を見てみましょう~~
指数関係の連立方程式です~

第1式は平方根の中に3乗,第2式は3乗根が含まれていてたいへん紛らわしいですね~
無意識にどっちも3乗根にしてしまう見間違いなどが起きそうで怖いです。
自分もやりかけました~


とりあえずこの連立方程式を解かなきゃいけません~
x,y の累乗の形を残したまま処理する方針と対数を使って1次連立方程式に還元してしまう方針とがありそうです nakioni.gif

前者で攻めると,とりあえず平方根や3乗根が邪魔なので両辺を何乗かして
ビジュアルをスッキリさせてから取り組むのがオススメです~


h17_20150317231641eac.jpg

 h18_2015031723164242f.jpg


一方で対数を利用して整理する方針だと,先に x,y の対数の値が出てきます~ mush.gif



h19_201503172316569d1.jpg



 のとき, x+y の最小値はどうなるかという設問があります~
親切に相加平均と相乗平均の関係を利用するよう誘導してくれています~
これを用いることにより,最小値の候補が見つかります。
このとき,しっかりと等号成立条件を確認して,本当にその候補の値が真に最小値であるかどうかを
見定めなければいけません。
それが確認できるまでは最小値と決めつけてはいけませんので気をつけましょう~ niwatori.gif


h20_20150317231657d2c.jpg


数3の微分を活用する方法や2次方程式の解の配置問題に帰着する方法もありますが,
相加相乗で片付けちゃうのが無難でしょう~











   
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