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2015年センター試験数学2B 大問2

2015.03.22 22:33|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター数学2Bの第2問を見てみましょう~



新旧共通の微積の問題です~~
今年の微積問題は,計算量としては重たい類には入らないと思うので
取り組みやすかった方だと思います~
a という文字を含んだまま直線の式や面積の計算をしなければいけないあたりが若干面倒ですが
複雑な計算を強いられることはないです。
冒頭で平均変化率を聞かれる設問がある辺り,もしかしたらギョッとしてしまった人がいるかもしれないです~


ではみていきましょう~~
 の x=a における微分係数を極限を用いて定義に沿って求めていく設問です。

盲点を突かれたような人もいたかもしれませんね。
導関数の計算は全部  などの公式に頼りきりで
最も初歩の微分係数の定義を忘れてしまっていた人も多くいたようです。
平均変化率?なんだっけそれ!!?みたいな

x=a における微分係数とは関数 y=f(x) のグラフの点 (a,f(a)) における接線の傾きのことでした。
これは, h≠0 として y=f(x) のグラフ上の2点 (a,f(a)), (a+h,f(a+h)) を通る直線の傾き
(これを x が a から a+h まで変化したときの平均変化率といいます~)を考えて
h をだんだん0に近づけていくことで,その極限として接線の傾きを得るという方法で求めていました~ akaname.gif

よって平均変化率の計算って決して面倒なものではないわけですね。
中学校式に言えば変化の割合を求めろっていう設問なわけです。


i1_2015032218250034c.jpg


次に x=a における接線 ℓ の方程式を求めます~
x=a における微分係数が ℓ の傾きなので,点 (a,f(a)) を通る傾き a の直線の方程式を
求めれば良いことが分かります~ dog_happy.gif


i2_2015032218250023e.jpg
i3_2015032218250189f.jpg


なお放物線の接線の方程式は微分を用いずに判別式を利用した求め方もありました。
ℓ を点 (a,f(a)) を通る傾き k の直線であると仮定して,
曲線 C の方程式と連立させてできる2次方程式が重解を持つ条件として
判別式=0 という立式ができます。
これを解いて k を求めてやればいですね~


i4_2015032218250137e.jpg




次は ℓ と x 軸の交点をQとして,Qを通り ℓ と平行な直線 m の方程式を求めます~
Qの座標は簡単に分かりますね。
ℓ の傾きは分かっているので「傾きの積が-1」の関係から m の傾きも分かります。
というわけで m の方程式を出すのは易しいです~


i5_20150322182502744.jpg


法線ベクトルを利用して,ベクトル方程式から求めるという手もあります~
ℓ の方向ベクトルがちょうど m の法線ベクトルになっています~

i6_20150322182502103.jpg




次は m と y 軸の交点をAとして,△APQの面積 S を求めます~
どの辺も軸と平行でないのでちょっと工夫が必要です。
様々な方法で面積が出せるので,この設問が一番方法がばらけそうですね。
いくつか考えていくことにしましょう~

まずは,下図のように台形AOHPを考えてそこから余分な2つの三角形の面積を引いてやるという発想です~ cutlet.gif
なお類似の方法としては長方形から三角形3つ引いてやるっていパターンも有りますね。


i7_20150322182535283.jpg


AQ⊥PQ なので△APQは直角三角形です。
ということは,上図において三平方の定理を使ってAQとPQの長さを求めれば
底辺×高さ÷2 という最もシンプルな方法で面積計算が出来ますね~


i8_20150322182535880.jpg

 であるため,ベクトルを用いた面積公式



に当てはめても概ね上と同様の計算になります。
三角比を使った面積公式  でも同様ですね。


また,頂点の1つが原点にある三角形の面積公式 (  の形のやつ)
を使うことも出来ます~
その場合三角形を平行移動していずれかの頂点が原点に来るように直してから公式を適用します curry.gif




i9_20150322182536ca9.jpg



1辺が軸と平行になるような2個の三角形に分割する方法もありますね。
例えばQを通り y 軸と平行な直線を引いて辺APとの交点をRとすると
△APQ=△AQR+△PQR になりますが,分割された2個の三角形はQRを底辺とみると
面積計算が容易にできます~ girl_jewel_b.gif

この場合Rの座標を求める必要があります。
直線APの方程式を計算する手間がかかりますが,
ちょっと上の方で考えた台形AOHPに対してQが辺OHの中点であり
OA,PH,QRが平行であることからRはAPの中点であることが分かるので,
それを利用してRの座標を出すのも有効手段です~


i10_2015032218253697a.jpg



等積変形の利用も考えられます~
3辺がどれも軸と平行でないことが厄介だ,というのなら
1辺が軸と平行な三角形に等積変形してやればいいじゃないか
という発想が出来ますよね korobo.gif
例えばAを通り直線PQ,すなわち ℓ と平行な直線を考え,それと x 軸の交点をA´とすれば
△APQ=△A´PQ になります~
PQを底辺とみると2つの三角形は高さが共通になっているためですね。


i11_20150322182537972.jpg


ちょっと面倒ではありますが積分計算でも出せますよね。
これは他の方法と比べて計算量が多くなってますね。


i12_20150322182537ab1.jpg


そろそろ次設問に進みましょう~

直線AP,曲線C, y 軸で囲まれる領域の面積 T の計算です~
これもまた容易に思いつく求め方が複数あるのでとりあえず3つくらい解き比べてみましょう~

まずは先ほどの台形AOHPから余分な部分を引く方針です kojika.gif
S の計算で台形の面積を計算してある場合などは楽に計算が出来ますね。
積分部分も非常に簡単形です~


i15_20150322182611f93.jpg


(直線AP)-(曲線C) 型の立式で求める方法もあります~
複数のパーツに分けず積分の項1つで面積が求められる点は魅力ですが
直線APの方程式を求めなければならない上に,積分計算もちょっと面倒ですね。
とはいえ一番単純な方針だと思うのでこの方法で攻めた人も多いことでしょう~


i13_20150322182610eda.jpg


3つめ線分OPを引いて2つのパーツに分割する方法です~
おなじみ1/6公式が利用できるため非常に楽に計算ができます~
3つの中では一番オススメですかね。



i14_20150322182611ab1.jpg



さて,終盤は S-T の最小値を求める問題になってます~

まずは S-T の値とそれが正になる a の範囲を求めます~


i16a.jpg


 のときに S-T>0 となることが分かりました。
それはすなわち,ついでに  のときに S-T<0 となることが分かったということです kitune.gif

ということはこの後求める a>0 における S-T の最小値はマイナスの値で
それを与える a の値は  の範囲にあるということですね~

その最小値は S-T を a の関数とみなして,
微分を用いて増減を調べれば求められます~


i16b.jpg
 


ここからは少し余談です~

試験場では上のように微分を用いて3次関数の増減からちゃちゃっと処理してしまうべきですが,
別の方針として凸関数の性質を使ったアプローチもあります。

i17_201503221826132d6.jpg

上記の性質については, a,b,c が異なるときは3点 (a,f(a)), (b,f(b)), (c,f(c)) を
頂点とする三角形の重心(これは三角形の内部にある)の座標  と 
 の位置関係なんかを考えてみると分かりやすいんじゃないでしょうか~ kudan.gif

この性質を上に凸な関数 
に適用することで  における  の最大値が求められるので,
そのことから今回の最小値が求められます~


i18_2015032218261371e.jpg

 i19_201503221826296ff.jpg


凸関数の性質を使ったアプローチは思いのほか多くの場面で利用が可能なので
道具として心得ておいてもいいかもしれません~ kuma_fly.gif



   
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