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2015年センター試験数学2B 大問3

2015.03.24 15:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター2Bの大問3をみていきます~


数列の問題です~
周期数列を題材にした出題になっています。
よくあるネタではあるのですが,あまり慣れていない人も多いんじゃないかという気がします~
複雑な計算を強いられる箇所はないのですが,誘導に乗れなかったりすることもあるかもしれないですね。

自然数 n に対し,  の1の位の数字を  とおくようです。
等差数列や等比数列などのように一般項を n の簡単な式で表せないので扱いづらいですね
こういうときは試しにはじめの何項かを具体的に書き上げて,
どういう数列なのかその雰囲気を感じ取ってみるというのが有効です~
実際はじめの空欄ははじめの数項を求めるものになっていて都合がいいです。

 は n が大きくなるにつれてみるみる大きくなっていきますが,
1の位の部分だけ計算すればいいので特に苦労はないでしょう。
でも2の累乗の値は10乗くらいまではよく使う値なので覚えておきたいところですけどね~
いざ  を求めてみると, 2→4→8→6→2→4→8→6→2→…
と変化してますね。計算の性質上,途中で2に戻ったら振り出しに戻ります。
つまり,この数列は上の考察から 2→4→8→6→ を延々ループする周期4の周期数列である
ということが見て取れるわけです s2_sum_hotaru.gif

j1_20150324023158cb8.jpg

周期4を持つということは,つまり任意の自然数 n に対して 
が成り立つということです。今回は計算の性質上,「帰納的に成り立つ」の一言で片付けてしまっても
許されるレベルなのかもしれないですが,もう少し丁寧に説明したいとしたら,
手っ取り早い方法は  が  を10で割ったときの余りに一致することに着目して
 と  は10で割ったときの余りが等しいこと,
すなわち  は10の倍数であることを確かめてみるのがいいと思います~ eto_ushi.gif
これはわざわざ数学的帰納法を持ち出してこなくてもすぐに確認ができます~


j2_201503240231590b6.jpg

合同式の性質を知っていればもっとちゃちゃっと確認できます~

j3_20150324023159c13.jpg


というわけで 「オ」 の空欄には3番の 「n+4」 を入れれば良いことになるのですが,
ここで1つ厄介なことが起きます。問題文を読むと,
「  である。このことから,すべての自然数 n に対して, 
 が成り立つ。」
とあります。確かにここまでの自然な流れに添うと3番の 「n+4」 が最も適切である気はします。
しかし,0番の選択肢が 「5n」 になっていて,これが曲者なのです
実は  という等式もまたすべての自然数 n に対して成立する式なんですよ~ hunayurei.gif
一応確認してみましょう~

j4_20150324023200aa5.jpg


問題文の 「このことから,」 をどのように解釈するかという国語の部分の問題が生じてしまいますが,
なんとかまぁ 「このことから,」=「第5項まではこうなっているから第6項以降も同様に計算できて,
そうすると何やら  が成り立ってるぽいことに気付けるが,実際これはちょっと計算してみると
確かめることが出来るので,」という意味に解釈することが不可能ではないので,
なんと公式の解答発表から数日後に「0番を選んでも正解とする」という旨の解答訂正が出されました~ kaeru_en2.gif
数学の試験では珍しいですね。


さて,ここで第2の主役,数列  の出番です~
こちらは漸化式で定義されていますが,その漸化式に  が含まれています。
このため,  の一般項も簡単な n の式1本で書き表すのは難しそうですね。

とりあえず誘導に従って考察を進めてみましょう~
漸化式を繰り返し用いて  の値を変形していきます。
この辺りの設問は冒頭の設問が分からなくても解答できますから,もし最初で心折れてもきちんと取り組んでくださいね。
複雑そうな式をしていますが,漸化式を繰り返し使っていけば得られますよ,と言ってくれているのですから
方針に迷うことはありません~


j5_20150324023200ae5.jpg

ここで出現した  というかたまりですが,数列  が周期4を持つことを思い出せば,
このかたまりの値は n によらないただの定数であることが分かります m_0037.gif

n+3,n+2,n+1,n の中には必ず4で割ったときの余りが0,1,2,3であるものが
それぞれ1個ずつ含まれているので,  の中には必ず
値が6,2,4,8であるものがそれぞれ1個ずつ含まれているわけです。

あるいはこういう解釈も出来ます。
 によって数列  を定めると,周期性により
任意の自然数 n について  が成り立つことが分かるので, 
 の値は n によらない定数です~


j6_20150324023201cea.jpg

なお,途中で心折れて誘導にうまく乗れなかったとしても, 
 という空欄補充になっていることから
「あ! n によらない定数になるんだな!」と察して n=1 を代入して 2・4・8・6 を計算して
空欄埋めるような小賢しい真似もできます。どこまでも諦めないことが肝要ですね。

さてここで,  という関係式が得られました。
等比数列を表す漸化式に似ていますが,隣接2項間の関係式ではないため違います~

しかしながら,ちょっと工夫をすれば等比数列の話に帰着できちゃいます~

という4個おきに項を取ってくる数列  を考えてみると,
これは公比  の等比数列になっています~
同様に数列  もまた公比  の等比数列になっています~

このことから,  は添字を4で割ったときの余りで分類して考えることで取り扱いが楽になることが分かります onigiri_1.gif



j7_20150324023234eb0.jpg


これらの一般項は  を1つ求めてしまえば残り3つは元々の漸化式から求めても良いです~


j8_20150324023235a38.jpg



次は数列  の初項から第 4m 項までの和を求める設問です~
添字を4で割ったときの余りに着目することがポイントで,

のように4個区切りで和を考えてみるか,もしくは

のように4つの和のかたまりに分けると良いと思います~ ny_kadomatsu.gif


 j9_201503240232361bd.jpg
j10_201503240232367ba.jpg




j11_2015032402323657c.jpg



和の次は積です~
初項から第 4m 項までの積を考えます~
発想は和のときと同様ですね。誘導に従って,4項ずつに区切って考えていきます ny_kagamimochi.gif


j12_2015032402323701f.jpg


4個の積に分割しても構いません~


j13_20150324023301dda.jpg



また,対数を用いると積の計算を和の計算に直すことが出来ます。
例えば  という積は対数  を考えると和 
に直せますね。得られた和の値を  とすると, 
によって元の積の値が計算できます~


j15_201503240233021bc.jpg
j18_2015032414591829a.jpg


最後は  の値の計算です。
1つ前の設問の答えを活かすのですが,  のように添字が4の倍数ではないため,
単に m に何か代入しておしまい,というわけにはいかないようです。
しかしながら,  なので,  に  と  を掛けてやればいいという
ただそれだけなのです~ s2_sum_bbq.gif



j14_20150324023302a53.jpg



また,高々第10項までの積なので,前設問とか関係なく普通に掛け算しちゃっても
これといって問題はないように思います~
もし途中の設問の時点で脱落してしまったとしても最後の積は計算できるので,しっかり得点したいところです。


j17_201503240233032c5.jpg
 





   
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